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CÁLCULO VECTORIAL ( 4301 Y 4302 )
UNIDAD I. ALGEBRA DE VECTORES
P
Q
O
R
Y
X
PQ
PQ
OR
Definición Geométrica de un Vector.- conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos (con punta de flecha) equivalentes a un segmento de recta dirigido dado. Sea una representación de V (V es un vector ) sin cambiar dirección ni magnitud, se puede mover en forma paralela, puntoinicial en el origen .

Interpretación Geométrica de un Vector en el Plano XY (en R2).- es un par ordenado de números reales (a,b), en donde a y b son los elementos o componentes del vector (x,y).

Interpretación Geométrica de un Vector en XYZ (en R3).- es un trío ordenado de números reales (a,b,c), en donde a, b y c son los elementos o componentes del vector (x,y,z).

Vector en R2:V=v1,v2, V=4,-3 , V= -3,8

Vector en R3: V=v1,v2,v3, V=4,-3,1 , V= -3,8,-1

Vector en Rn: V=v1,v2,v3, …, vn

Vector por componentes ( horizontal y vertical ):


j
v = ( a , b ) sería v = a i + b j

i

v = ( a , b , c ) sería v = ai + bj + ck en R3

Magnitud o Longitud de un vector.- es el tamaño que tiene un vector y se calcula por el Teorema dePitágoras v=a2+b2

Vector en el origen

V Y1 V = X12+Y1 2

X1 En R3 V = X2+Y2+Z2

P2
Y
Y2


Y1

Vector fuera del origen

P1
P1P2= X2-X1 2+ Y2-Y1 2 Distancia entre 2 puntos

X1 X2 X
P1P2=X2-X1 2+ Y2-Y1 2+ Z2-Z12 en R3

Dirección de un vector.- es el ángulo del vector V = ( a , b ) medido en radianes que forma el vector con el eje x positivo. 0 < 2π

θ=tan-1 ba Dirección en R3 es el vector unitario del vector

Notas Importantes:

Cuando la calculadora marque error, el ángulo se verá de manera gráfica deacuerdo acomo esté graficado el vector.
Cuando el ángulo sea negativo, se calculará el ángulo positivo.
Cuando el ángulo tenga decimales, de 0.5 hacia arriba se subirá al entero siguiente; si es menor de 0.5 se bajará al entero que se encuentre ( 25.43 25 , 26.57 27 ).
Después se transformará a radianes con la regla de tres

Ejemplo:
π - 180 x = 27180π= 320π
x - 27
Rad - Gradosπ - 180
x - 27 es el ángulo del vector

Ejemplo. Realice la gráfica, la magnitud y la direción de: u = ( - 2 , 5 ) , v = ( 1 , 3 )
-3 -2 -1 1 2 3
5
4
3
2
1
1
2
3

u = -22+ 5 2= 4+25= 29
θ=tan-1 5-2= -68.19 ≈ -68→112= 2845 π

u


π – 180 x= 112180π=5690π=2845π
-3 -2-1 1 2 3
5
4
3
2
1
1
2
3
x – 112

v = 1 2+ 3 2= 1+9= 10
θ=tan-1 31= 71.56 ≈ 72= 25 π

v


π – 180 x= 72180π=3690π=1845π=615π=25πx – 72
ACTIVIDAD A. Realizar la gráfica, encontrar la magnitud y la dirección de los siguientes vectores

a. ( 2 , 2 )

b. ( 2 , 2 3 )

c. ( - 2 3 , 2 )

d. ( - 3 , - 3 )

e. ( 6 , - 6 )

f. ( 0 , 3 )

Encuentra la distancia entre los dos puntos

u = ( 9 , - 4 , 2 ) v = ( 10 , - 2 , - 5 )

d= 10-92+-2-(-4)2+-5-22=12+22+-72=1+4+49=54

ACTIVIDADB. Calcule la distancia entre los siguientes puntos

1. u = ( 5 , 7 ) v = ( - 9 , 3 )

2. u = ( - 7 , 2 ) v =( 9, - 2 )

3. u = ( 3 , - 1 , 6 ) v = ( - 2 , 3 , 5 )

4. u = ( - 3 , - 2 , - 8 ) v = ( - 1 , 4 , 3 )

Suma de Vectores: se suma término a término, x con x, y con y.

v = ( a , b ) w = ( c , d ) v + w = ( a , b ) + ( c , d ) = ( a+c ,...