Radicales Simplificación
Páginas: 5 (1182 palabras)
Publicado: 8 de marzo de 2013
Tema 1: Radical 1
Subtemas: Radical concepto
Simplificación de radical
Racionalización de radicales
Analizamos la siguiente situación
1. Calcular la altura de la antena que se observa en el dibujo
Según teorema de Pitágoras
[pic]
Teorema de Pitágoras
Hip2 = cat2 + cat2
(5m)2 = (2m)2 + cat2
(5m)2 - (2m)2 = cat2
25 m2 – 4m2 =cat2
21 m2 = cat2
√21 m2 = cat
Cat= √21 m ~ 4,582575695
Respuesta: La altura de la antena es de √21 metros
La expresión √21 es un número llamado radical y pertenece al conjunto de números irracionales
Números irracionales: Son aquellos números con infinitas cifras decimales (no periódicas) y que sólo podemos conocer por medio de aproximaciones. Los mismos no pueden serexpresados como fracción. Las raíces de los números que no son cuadrados perfectos, como √2 √3, √5, √7 , etc.
Entonces = √21 ~ 4,582575695 y √21 ≠ 4,58
Radical: es la operación inversa de la potencia y se expresa n√b = a, siendo √ símbolo del radical, “b” la cantidad subradical y “a” la raíz
Si an = b → n√b = a
Leyes de la radicación
Las leyes de la radicación son dos: la ley de launiformidad y la ley distributiva
Ley de la uniformidad
a. La raíz de un grado de un número tiene un valor único o siempre es igual
√25 = 5 por que 52 = 25
b. Si a los dos miembros de una igualdad se extrae una misma raíz, la igualdad se mantiene
Siendo a = 25 se tendrá √a =√25 o sea √a =5
Siendo m = n se tendrá 3√m =3√n
Siendo x2 = 81 se tendrá √x2 =√81 osea x =9
Ley distributiva
La radicación no es distributiva con relación a la suma y a la resta
√36 + 64 ≠√36 + √64
√36 + 64 = √100 = 10
√36 + 64 ≠√36 + √64 = 6 + 8 = 14 Es incorrecto el procedimiento
√25 - 9 ≠√25 - √9 = 5 – 3 = 2 Es incorrecto el procedimiento
√25 – 9 = √16 = 4
La radicación es distributiva con relación a la multiplicación y a la división√36 . 64 =√36 . √64 = 6 . 8 = 48
√36 . 64 = √ 2304 = 48
√ 64 : 16 = √64 : √16 = 8 : 4 = 2
Raíz de una potencia
La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz
√24 = 24/2= 22 = 4 → √24= 22 = 4
3√212 = 212/3 = 24 = 16 → 3√ 212 =24 = 16
Simplificación de radicales
Para simplificar un radical se debeusar las leyes mencionadas anteriormente, más las descomposición en factores primos de la cantidad subradical.
Ejemplos:
1. √196= √22.72 = √22 . √72= 2 . 7 = 14
2. 3√-125= -3√53 = -5
3. 5√-32m10 = 5√-32m10 = -5√25 . 5√m10= -2m2
4. 5 √100m4n2 = 5 √22 .√52 .√m4 . √n2=5. 2 . 5 . m2 . n = 50 m2n
5. 6√a3b3 = 6:3√a3:3 . b3:3= √a.b
6. 8√16x2 y4 = 8√24x2 y4 = 4√22xy2=4√4xy2
Ejercicio de aplicación
1. Simplifica
a. √20x3
b. √147
c. √242
d. 3√27a5
e. 3√-64a6
f. 3√-128y8
g. √25x4y2
h. 4√a4b8
i. √125a3n5
j. 5√32a6b7
k. 4√25a4b2
l. 12√64x6y9
Racionalización de denominadores
Con mucha frecuencia se presentan en las diferentes operaciones, expresiones que tienen radicales en sudenominador. En este caso es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan denominador racional. A este procedimiento se lo denomina racionalización.
Sea por ejemplo hallar el valor de 5/√3
Para efectuar la división tendríamos que hallar la √3= 1,732050808… que no es exacta. Además, el cociente 5 dividido entre 1,732050808… tiene mayor inexactitud aún.
O sea,5/ 1,732050808… = 2,886751345…. = 2,8868 → (redondeo por exceso en la cuarta cifra decimal)
En cambio, si multiplicamos por √3 tanto el numerador como el denominador tendremos
5 = 5. √3 = 5√3 = 5√3
√3 √3. √3 √32 3
El denominador es un radical único
Cuando el denominador de una fracción consta de un solo término radical se multiplican el...
Subtemas: Radical concepto
Simplificación de radical
Racionalización de radicales
Analizamos la siguiente situación
1. Calcular la altura de la antena que se observa en el dibujo
Según teorema de Pitágoras
[pic]
Teorema de Pitágoras
Hip2 = cat2 + cat2
(5m)2 = (2m)2 + cat2
(5m)2 - (2m)2 = cat2
25 m2 – 4m2 =cat2
21 m2 = cat2
√21 m2 = cat
Cat= √21 m ~ 4,582575695
Respuesta: La altura de la antena es de √21 metros
La expresión √21 es un número llamado radical y pertenece al conjunto de números irracionales
Números irracionales: Son aquellos números con infinitas cifras decimales (no periódicas) y que sólo podemos conocer por medio de aproximaciones. Los mismos no pueden serexpresados como fracción. Las raíces de los números que no son cuadrados perfectos, como √2 √3, √5, √7 , etc.
Entonces = √21 ~ 4,582575695 y √21 ≠ 4,58
Radical: es la operación inversa de la potencia y se expresa n√b = a, siendo √ símbolo del radical, “b” la cantidad subradical y “a” la raíz
Si an = b → n√b = a
Leyes de la radicación
Las leyes de la radicación son dos: la ley de launiformidad y la ley distributiva
Ley de la uniformidad
a. La raíz de un grado de un número tiene un valor único o siempre es igual
√25 = 5 por que 52 = 25
b. Si a los dos miembros de una igualdad se extrae una misma raíz, la igualdad se mantiene
Siendo a = 25 se tendrá √a =√25 o sea √a =5
Siendo m = n se tendrá 3√m =3√n
Siendo x2 = 81 se tendrá √x2 =√81 osea x =9
Ley distributiva
La radicación no es distributiva con relación a la suma y a la resta
√36 + 64 ≠√36 + √64
√36 + 64 = √100 = 10
√36 + 64 ≠√36 + √64 = 6 + 8 = 14 Es incorrecto el procedimiento
√25 - 9 ≠√25 - √9 = 5 – 3 = 2 Es incorrecto el procedimiento
√25 – 9 = √16 = 4
La radicación es distributiva con relación a la multiplicación y a la división√36 . 64 =√36 . √64 = 6 . 8 = 48
√36 . 64 = √ 2304 = 48
√ 64 : 16 = √64 : √16 = 8 : 4 = 2
Raíz de una potencia
La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz
√24 = 24/2= 22 = 4 → √24= 22 = 4
3√212 = 212/3 = 24 = 16 → 3√ 212 =24 = 16
Simplificación de radicales
Para simplificar un radical se debeusar las leyes mencionadas anteriormente, más las descomposición en factores primos de la cantidad subradical.
Ejemplos:
1. √196= √22.72 = √22 . √72= 2 . 7 = 14
2. 3√-125= -3√53 = -5
3. 5√-32m10 = 5√-32m10 = -5√25 . 5√m10= -2m2
4. 5 √100m4n2 = 5 √22 .√52 .√m4 . √n2=5. 2 . 5 . m2 . n = 50 m2n
5. 6√a3b3 = 6:3√a3:3 . b3:3= √a.b
6. 8√16x2 y4 = 8√24x2 y4 = 4√22xy2=4√4xy2
Ejercicio de aplicación
1. Simplifica
a. √20x3
b. √147
c. √242
d. 3√27a5
e. 3√-64a6
f. 3√-128y8
g. √25x4y2
h. 4√a4b8
i. √125a3n5
j. 5√32a6b7
k. 4√25a4b2
l. 12√64x6y9
Racionalización de denominadores
Con mucha frecuencia se presentan en las diferentes operaciones, expresiones que tienen radicales en sudenominador. En este caso es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan denominador racional. A este procedimiento se lo denomina racionalización.
Sea por ejemplo hallar el valor de 5/√3
Para efectuar la división tendríamos que hallar la √3= 1,732050808… que no es exacta. Además, el cociente 5 dividido entre 1,732050808… tiene mayor inexactitud aún.
O sea,5/ 1,732050808… = 2,886751345…. = 2,8868 → (redondeo por exceso en la cuarta cifra decimal)
En cambio, si multiplicamos por √3 tanto el numerador como el denominador tendremos
5 = 5. √3 = 5√3 = 5√3
√3 √3. √3 √32 3
El denominador es un radical único
Cuando el denominador de una fracción consta de un solo término radical se multiplican el...
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