Radicales

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALES
POTENC AS Y RA CES DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
Antes de proceder a la definición de potencia, haremos una pequeña introducción.
El producto 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 tiene sus cinco factores iguales. Este producto se puede indicar de forma
abreviada como 2 5.

5

2 =2⋅2⋅2⋅2⋅2
Esta forma abreviada se llama potencia y se lee dos elevadoa cinco o dos a la quinta.
Los elementos que definen una potencia son:

5

Exponente: El número de veces que se repite el factor.

2

Base: es el factor que se repite.

Si el exponente es :
2, la potencia
3, la potencia

2

b se lee b al cuadrado
3
b se lee b al cubo.

Para los valores 4, 5, 6,……n del exponente, las potencias se expresarían como b a la cuarta,
quinta, sexta... y, en general, enésima potencia.
n

Sea a un número real y n un número entero. Se define a como:

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a

si

n>0

n veces

a0 = 1
Cuando el exponente es negativo se escribe –n, siendo n > 0

a −n =
Ejemplo 1.:

1
an

con a ≠ 0

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POTENC AS YRA CES DE NÚMEROS REALES

5 4 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625

3 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27

( −2) 4 = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = 16

− 2 4 = − ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = −16

7 −2 =

1
72

− 7 −2 = −

=

1
49

1
7

2

=−

( −3) 3 = ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) = −27

Fíjate que en ( −2) 4 el exponente es cuatro y debajo tiene un paréntesis,
luego la base será lo que haya dentro del paréntesisObserva que en − 2 4 el exponente es cuatro y debajo tiene un 2, luego
la base será el 2, no -2

En la potencia 7-2 el exponente es negativo -2, utilizando la definición
hemos conseguido que aparezca una potencia con exponente positivo

1
49

En la potencia 7-2 el exponente es negativo -2, utilizando la definición
hemos conseguido que aparezca una potencia con exponente positivo.
Elsigno menos que aparece delante de 7-2 sólo indica que una vez
calculada esta potencia se multiplique por -1.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO.
•
•

a1 = a
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la
misma y por exponente la suma de los exponentes.
an ⋅ am = an + m

•

El cociente de dos potencias de la misma base es otrapotencia que tiene por base la
misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
an
am

•

= an −m

El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base
el producto de las bases y por exponente el mismo.
a n ⋅ b n = (a ⋅ b ) n

•

El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base

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POTENC AS Y RA CES DE NÚMEROS REALES

el cociente de las bases y por exponente el mismo.
an

⎛a⎞
=⎜ ⎟
n
⎝b⎠
b

•

n

La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente
el producto de los exponentes.
⎛ an ⎞
⎜⎟
⎝⎠

m

= a n ⋅m

RAÍZ DE UN NÚMERO
A partirde la definición de potencia n-ésima de a, siendo n un número natural si x n = a , x es la raíz
n-ésima de a y se escribe

n

a = x . Es decir:

x=

Al símbolo

n

n

a

xn = a

⇔

se llama radical de índice n, y a se llama radicando.

n

Indice

a

Radicando

Dependiendo del valor del índice, los radicales se leen y se representan según se indica en la tablasiguiente.
Índice
2

Lectura

Radical

1

raíz cuadrada

3

3

4

raíz cuarta

4

5

raíz quinta

5

…..

1

raíz cúbica

….

….

En el radical de la raíz cuadrada no se pone el 2 en el índice.

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Ejemplo 2.:
3...