Raices De Funciones En Matlab

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Escuela de ingeniería Civil
Materia:
METODOS NUMERICOS

ALUMNO:
HENRY DANIEL CARRION

TEMA:
METODOS PARA HALLAR LAS RAICES

CICLO:
4to

PERIODO LECTIVO
MARZO – AGOSTO 2012

METODOS PARA HALLAR LA RAIZ DE UNA FUNCION

Existen métodos que necesitan un solo valor para su ejecución o un intervalo (no necesariamente que contenga la raíz) que sirvade inicio ya que se retroalimentan automáticamente a estos se los llama métodos abierto mientras que los que necesitan de un intervalo cerrado en el cual exista un cambio de signo se los llama métodos cerrados o acotados.
Entre los métodos abiertos tenemos los siguientes:

* METODO DEL PUNTO FIJO
Los métodos abiertos emplean una formula para predecir la raíz, esta formula puededesarrollarse como una iteración simple de punto fijo o método de punto fijo, al reordenar la ecuación f(x)=0 de tal modo que X este del lado izquierdo de la ecuación.
x=g(x)
Esta transformación se realiza despejando la x o simplemente sumando una x a cada lado de la ecuación original.
Ejemplo x2 - 2x + 3 =0
Despejando xx= (x2 + 3)/2
La formula x=g(x) permite predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor inicial para la raíz Xi, la ecuación Xi+1= g (Xi) permite tener una nueva aproximación de Xi+1.
Para este método se debe cumplir con la condición de que la derivada converja siempre es decir
-1≤g'(x)≤1

Fig. 1 Explicación grafica del método

ALGORITMORepetir
r=gx
Si gx≥tol
Entonces
r=x
Sino
Presentar r
Fin
i=i+1
Hasta gx≤tol o i=n

PRUEBA DE ESCRITORIO

f(x)=x³-2X-11 en el punto 2
G(x)= (2X+11)^(1/3)

n | tol | i | r | f(c) | f(c)I ≤ tol | error |
10 | 0,0001 | 1 | 2 | 2,46621207 | NO | 0,18903973 |
  |   | 2 | 2,46621207 | 2,51628958 | NO | 0,01990133 |
  |   | 3 | 2,51628958 | 2,52155124 | NO | 0,00208667 |
  |  | 4 | 2,52155124 | 2,52210281 | NO | 0,00021869 |
  |   | 5 | 2,52210281 | 2,52216062 | SI | 2,2919E-05 |
  |   | 6 | 2,52216062 | 2,52216667 | SI | 2,4019E-06 |
  |   | 7 | 2,52216667 | 2,52216731 | SI | 2,5172E-07 |
  |   | 8 | 2,52216731 | 2,52216737 | SI | 2,6381E-08 |
  |   | 9 | 2,52216737 | 2,52216738 | SI | 2,7647E-09 |
  |   | 10 | 2,52216738 | 2,52216738 | SI | 2,8974E-10 |DIAGRAMA DE FLUJO

CÓDIGO EN MATLAB
%PROGRAMA DEL PUNTO FIJO%LA FUNCION POR DEFECTO ES X^3-2*X-11%fun1 ES LA FUNCION YA DESPEJADA QUE PIDE ESTE METODO% xo ES EL VALOR APROXIMADO DE LA RAIZ% n ES EL NUMERO DE ITERACIONES% LA TOLERANCIA ES DE 0.0001function[a]=puntofijo(x0,n)tol=0.0001;for i=1:na=feval('fun1',x0);% SE EVALUA LA FUNCION DESPEJADA EN EL PUNTO INICIALif(abs(a)<=tol)% PREGUNTASI EL VALOR DE LA FUNCION ES MENOS QUE TOLERANCIA break %SI ES VERDAD PARA EL PROGRAMAelse x0=a; %SI EL VALOR NO ES MENOR QUE LA TOLERANCIA SE CAMBIA EL VAORendendfprintf('la raiz con:%g\n repeticiones es:%g\a',n,a)% PRESENTA LA RAIZend |


* MÉTODO DE NEWTON RAPSON

Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:x1=x0-fx0f´x0

Este es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del puntoinicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto....