rango matrices
a
Objetivos. Aprender a calcular el rango de matrices.
Requisitos. Definici´n y propiedades del rango de una matriz, eliminaci´n de Gauss,
o
o
matrices escalonadas y pseudoescalonadas.
1. M´todo. Sabemos que el rango de una matriz no se cambia al aplicar operaciones
e
elementales por renglones, y el rango de una matriz ecalonada o pseudoescalonada porrenglones es igual al n´mero de sus renglones no nulos. Por eso, para calcular el rango de
u
una matriz, la transformamos (haciendo operaciones elementales por renglones) en una
matriz escalonada o pseudoescalonada. Tambi´n podemos transformarla con operaciones
e
elementales por columnas en una matriz pseudoescalonada por columnas.
2. Ejemplo. Calculemos el rango de la
2
3
A=
3siguiente matriz:
−3
3 −1
−4 10 −7 .
−5 −1
4
Primera soluci´n. En el primer paso usamos como pivote el elemento A1,4 :
o
2 −3
3 −1
2 −3
3 −1
R2 += −7R1
R += 4R1
R += R
0 .
17 −11
0 −3− − 2 −11 17 −11
A − − − − −11
−3 − − →
−−→
0
0
0
0
11 −17
11
0
La ultima matriz B es pseudoescalonada por renglones: en cada rengl´n no nulo hay una
´
o
entradano nula tal que todas las entradas por debajo de esta (en la misma columna)
son cero. El rango de B es igual el n´mero de sus renglones no nulos: r(B) = 2. Como
u
el rango de una matriz no se cambia al aplicar operaciones elementales por renglones,
r(A) = r(B) = 2.
Segunda soluci´n. Se sabe que r(A) = r(A ). Haciendo operaciones elementales por reno
glones transformemos la matriz A en unamatriz pseudoescalonada:
R1 ↔R4
R1 += 2R4
2
3
3
0 −11
11
−1 −7
4
R3 += 11/17R2
3 += −3R
−3 −4 −5 RR3 += R4 4 0
17 −17 R4 += 11/17R2 0 17 −17
−− − −
−−−−→
.
−−−−
3 10 −1 − − − → 0 −11
11
0
0
0
−1 −7
4
−1 −7
4
0
0
0
C
A
De aqu´ r(A) = r(A ) = r(C) = 2.
ı
C´lculo del rango de matrices, p´gina 1 de 4
a
aTercera soluci´n. Esta vez usamos la entrada A1,1 = 2 como pivote:
o
R2 += − 3 R1
2
R3 += − 3 R1
2
2
−3
3
−1
2 −3
3
−1
R += R
1/2
11/2 −11/2 −3− − 2 0 1/2 11/2 −11/2 .
A−− − − 0
− − −→
−−→
0 −1/2 −11/2
11/2
0
0
0
0
Hemos transformado la matriz A en una matriz escalonada D, y D tiene dos renglones
no nulos. Por lo tanto, r(A) = r(D) = 2.
Cuartasoluci´n. Aplicamos operaciones elementales por columnas, usando A1,4 = −1
o
como pivote:
C1 ↔C4
C3 += 11/17C2
−1
0 0 0
0
0
0 −1
C4 += 11/17C2
17 0 0 .
17 −11 −7 − − − − → −7
A − − − − −11
− − −→
−−−−
4 −17 0 0
11 −17
11
4
C1 += 2C4
C3 += −3C4
C3 += C4
La ultima matriz es pseudoescalonada por columnas, esto es, en cada columna no nula hay
´
una entrada nonula tal que todas las entradas a la derecha (del mismo rengl´n) son cero. El
o
rango de esta matriz E es igual al n´mero de sus columnas no nulas: r(A) = r(E) = 2.
u
3. Ejemplos. Calcular el rango de cada una de las siguientes matrices:
−1 −1
1
2
1 −1
2 3 1
1
2 −2 −2
3
0 −1 0 2 .
,
0
1 −1
0
2
0
1 0 0
1
3 −3 −2
4. Ejercicios. Calcule el rango decada una de las siguientes matrices:
1
1
0
3
1
0
2 −1 2
−1
3 −1
2
3
3 −4
2 3
,
.
2
1
1 −1
4
3
2 −1 2
1 −1 −2 −1
3
3
3
0 7
C´lculo del rango de matrices, p´gina 2 de 4
a
a
5. Ejemplo. Para matrices de peque˜os tama˜os a veces est´ claro sin c´lculos cu´l es
n
n
a
a
a
su rango. Calculemos los rangos de las siguientesmatrices:
1 −5
4
3 −1 4 7
3 −2 7
5 0 6 ,
A=
,
B = −2 10 −8 ,
C= 3
4
5 1
3
4
7
0
7 0 8
3 −1
4
1 −4 ,
D = −3
6 −2
8
7 −1
5 ,
E= 2
4 −3
4 7 0
F = −3 0 0 .
8 7 5
Soluci´n.
o
1. La matriz A tiene dos filas no nulas, y ninguna de estas filas es m´ltipla de otra,
u
por eso r(A) = 2.
2. En la matriz B la primera fila...
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