Matrices Elementales, Rango de Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales

Matrices Elementales, Rango de
Matrices y Sistema de Ecuaciones
Lineales
Una gran cantidad de problemas que se presentan en las ciencias e ingeniería estan asociados a la solución
de sistema de ecuaciones lineales, resolveremos este problema desde un enfoque matricial y decidiremos
el tipo de solución que presenta el sistema.

Matrices Elementales
Operaciones Elementales
Las operacioneselementales juegan un rol importante en el calculo del rango de una matriz y en la
soluciones de ecuaciones lineales.
Operaciones elementales por …las
Se de…nen tres operaciones elementales sobre las …las de una matriz que a continuación enunciamos
1. Intercambiar las …las i y j de la matriz
2. Multiplicar a una …la de la matriz por un escalar k 6= 0:
3. Añadir a la …la i de la matriz; kveces la …la j de la misma.
Resumimos estas operaciones elementales, así como su notación en la siguiente tabla
Operación elemental

Notación

Intercambio de la …la i y j

fi

Multiplicar una …la por un escalar k 6= 0
Añadir a la …la i; k-veces la …la j

fi ! kfi
fi ! fi + kfj

Ejemplo
Dada la matriz A de…nida por

2

6
6
A=6
6
4

4
5

3
4

2
4

1
3

2

6

62

5

2

2

5

realizamos las siguientes operaciones elementales por …las

1

3
4
7
6 7
7
3 7
5
3

fj

1. Intercambiamos las …las 2 y 4 de la matriz
2

4

2

1

5

4

4

3

2

6

6

2

5

6
6
6
6
4

3

2

2

4

5

3

7
6 7 f2
7
3 7
5
3

2

4

3

2

1

5

2

2

5

2

6

6

2

5

4

4

34

3

2

1

10

10

25

6
f4 6
6
6
4

4

3

7
3 7
7
3 7
5
6

2. Luego a la …la 2 de la matriz le multiplicamos por 5
2
6
6
6
6
4

4

3

2

1

5

2

2

5

2

6

6

2

5

4

4

4

3

3

7
3 7 f2 ! 5f2
7
3 7
5
6

2

6
6 25
6
6 2
4
5

6

6
4

3

7
15 7
7
3 7
5
6

2

4

4

3

3.Seguidamente a la …la 4 le sumamos 2 veces la …la 1 de la matriz
2

4

6
6 25
6
6 2
4
5

3

2

10

10

25

6

6

2

4

4

1

3

4

3

7
15 7 f4 ! f4 + 2f1
7
3 7
5
6

2

4

3
10

10

25

6

6
6 25
6
6 2
4
13

2
6

2

2

8

1

5

4

3

7
15 7
7
3 7
5
2

Operaciones elementales por columnas
De manera similar se de…nenlas operaciones elementales por columna
1. Intercambiar las columnas i y j de la matriz.
2. Multiplicar una columna de la matriz por un escalar k 6= 0:
3. Añadir a la columna i de la matriz; k veces la columna j de la misma matriz
Resumimos estas operaciones elementales, así como su notación en la siguiente tabla
Operación elemental

Notación

Intercambio de la columna i y j

ciMultiplicar una columna por un escalar k 6= 0

ci ! kci

Añadir a la columna i; k-veces la columna j

cj

ci ! ci + kcj

De…nición de una Matriz Elemental
Una operación elemental por …la o por columna, veine asociado a una matriz no-singular, llamada matriz
elemental el cual es de…nido como sigue.
De…nición
Una matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente unaoperacion elemental es
llamada una matriz elemental.

Autor: J. César Barraza B.

2

Ejemplo
Las siguientes matrices son matrices elementales
2

0

6
4 0
1
"

0
1
0
1

0
"

1

7
0 5
0
#
0
8

1
3

3

0
1

#

:

se obtiene intercambiando las …las 1 y 3 de I3

: se obtiene multiplicando por ( 8) la …la 2 de I2
: se obtiene sumando tres veces la …la 1 a la…la 2 de I2

También podemos obtener matrices elementales asociadas a una operación elemental por columna
Ejemplo
Las siguientes matrices son matrices elementales
2

0

6
4 0
1
"

0

1

3

7
0 5 : se obtiene intercambiando las columnas 1 y 3 de I3
0 0
#
1
0
: se obtiene multiplicando por ( 8) la columna 2 de I2
0
8
"
#
1 3
: se obtiene sumando tres veces la...