Razonamiento matematico

Seminario de problemas. Curso 2011-12. Hoja 1
1. En la estaci´n central de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos como
o
estaciones a las que se puede ir desde una estaci´n determinada de la red o estaciones
o
desde las que se puede ir a ella (el billete de A a B es distinto que el de B a A). Se
inaugura una l´
ınea nueva con varias estaciones nuevas y eso obliga aimprimir 34 nuevos
billetes distintos. ¿Cu´ntas estaciones hab´ en la red, y cu´ntas hay en la l´
a
ıa
a
ınea nueva?
Soluci´n.
o
Si hab´ E estaciones en la red, el n´mero de billetes distintos que se pod´ vender era
ıa
u
ıan
E(E − 1). Si son N las nuevas estaciones, son (E + N )(E + N − 1) los billetes que se
pueden vender despu´s de la inauguraci´n de la nueva l´
e
o
ınea. Entonces,
34= (E + N )(E + N − 1) − E(E − 1) = N (2E + N − 1).
Los n´meros N y 2E+N −1 son naturales, N < 2E+N −1, y 34 s´lo se puede descomponer
u
o
en producto de dos n´meros naturales de dos maneras: 34 = 1 · 34 o 34 = 2 · 17. En el
u
primer caso, N = 1 y E = 17. Como se dice que la nueva l´
ınea tiene “varias” estaciones,
esta posibilidad no sirve. Entonces, N = 2 y resulta E = 8. Hab´ ochoestaciones y se
ıa
ha inaugurado una l´
ınea con dos estaciones.
2. Una chica y un chico van paseando juntos. El chico da dos pasos al tiempo que la chica
da tres. En un cierto instante ambos pisan con el pie derecho. ¿Al cabo de cu´ntos pasos
a
del chico pisan por primera vez ambos al mismo tiempo con el pie izquierdo?
Soluci´n.
o
Con un cambio de escala en el tiempo, que claramente noimporta para el problema,
podemos hacerles caminar de modo que:
El chico da 2 pasos en 6 segundos, es decir, 1 paso en 3 segundos. La chica da 3 pasos en
6 segundos, es decir, 1 paso en 2 segundos.
Podemos se˜alar en un eje de tiempos el pie que cada uno pone en el suelo, como se ve a
n
continuaci´n:
o

Entonces, al cabo de 12 segundos est´n en la misma situaci´n que al comienzo, y no han
a
opuesto nunca el pie izquierdo al mismo tiempo en el suelo. Queda as´ claro que nunca lo
ı
van a poner.
3. Observa:
1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 52 − 1;
2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 112 − 1;
3 · 4 · 5 · 6 = 360 = 192 − 1.

¿Ser´ verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado
a
perfecto menos 1? Y, si es verdad, ¿el cuadrado de qu´ n´mero resulta ah´
e u
ı?
Soluci´n.o
Extendamos un poco m´s la tabla:
a
1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 25 − 1 = 52 − 1
2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 121 − 1 = 112 − 1
3 · 4 · 5 · 6 = 360 = 361 − 1 = 192 − 1
4 · 5 · 6 · 7 = 840 = 841 − 1 = 292 − 1
5 · 6 · 7 · 8 = 1680 = 1681 − 1 = 412 − 1
Puede saltar a la vista que la respuesta a la pregunta ¿el cuadrado de qu´ n´mero resulta
e u
ah´ es: el que resulta de multiplicar los dos n´meros deenmedio y restar 1, o bien,
ı?
u
de multiplicar los dos n´meros de los extremos y sumar 1, es decir, se puede llegar a
u
conjeturar las f´rmulas
o
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = ((n + 1)(n + 2) − 1)2 − 1 = (n(n + 3) + 1)2 − 1,
que se pueden comprobar directamente echando las cuentas.
Nota. Tambi´n se podr´ generalizar el problema a cuatro n´meros en progresi´n are
ıa
u
o
itm´tica:
e
n(n +d)(n + 2d)(n + 3d) = ((n + d)(n + 2d) − d2 )2 − d4 .
4. En un cuadrado M N P Q se traza el punto A como indica la figura:

El tri´ngulo AP Q tiene toda la pinta de ser equil´tero. ¿Lo es de verdad?
a
a
Soluci´n.
o
Levantando el mismo tri´ngulo is´sceles sobre los otros tres lados del cuadrado obtenemos
a
o
los puntos B, C y D.

2

Por la simetr´ del cuadrado, N A = N B y ∠AN B = 60◦ ,etc., luego los cuatro tri´ngulos
ıa
a
en las esquinas como el AN B son equil´teros. Por lo tanto ABCD es un cuadrado.
a
Entonces los tri´ngulos P BA y QDA son iguales al
a

P CQ. Luego el

QAP es equil´tero.
a

Otra soluci´n.
o
Levantando el mismo tri´ngulo is´sceles sobre el lado N P del cuadrado obtenemos el
a
o
punto B.

Se tiene que ∠AN B = 60◦ , y por tanto
en lados...