Razones De Cambio

Razones de cambio relacionadas

Razón de cambio

Al definir la derivada de una funci´on y = f (x) en un punto fijo x0, se menciono´ que

f t(x0) = l´ım

f (x0 + h) − f (x0)

= l´ım

f (x) − f (x0)

∆y
= l´ım

h→0 h

x→x0

x − x0

∆x→0 ∆x

donde ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + h) − f (x0) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables
y & x,respectivamente.
Refiri´endonos a estos incrementos podemos decir que:

• El incremento ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + h) − f (x0), nos muestra el cambio que ha tenido la variable y

• El incremento ∆x = x − x0 = h, nos muestra el cambio que ha tenido la variable x.
De esto se desprende que el cociente

∆y = f (x) − f (x0)
∆x x − x0

= f (x0 + h) − f (x0)
h

es una raz´on de cambio quenos muestra el cambio que ha tenido la variable y, cuando la variable x
ha tenido un cambio ∆x.

Es decir es una razo´n que compara el cambio de la variable y, con respecto al cambio de la variable
x.

O sea que, es una raz´on que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x.

• Esto es, es la raz´on de cambio promedio de la funci´ony = f (x) con respecto a x, a lo largo del intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x.

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Ahora bien, al escribir l´ım

∆y
nos estamos refiriendo a la raz´on de cambio promedio de la variable y

∆x→0 ∆x
cuando se consideran cambios cada vez m´as pequen˜os en la variable x.
Podemos decir que con este l´ımite se busca una razo´n de cambio instant´anea de la variable y con respectoa la variable x.
Es decir, cuando hacemos que la longitud (| ∆x |) del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x tienda a cero,
“la raz´on de cambio promedio de y” se convierte en “la raz´on de cambio instant´anea de y”, por supuesto,
con respecto a x.

Concretando y generalizando.

Si se tiene que la variable w est´a en funci´on de la variable u, entonces decimos que w = φ(u). Si ∆u esun incremento en la variable u, entonces:

1. ∆w = φ(u + ∆u) − φ(u) es el incremento de la variable w.

2. ∆w
∆u

= φ(u + ∆u) − φ(u)
∆u

es la raz´on de cambio promedio de la varible w, a lo largo del intervalo

limitado por u & u + ∆u.

w = φ(u)

φ(u + ∆u) •

∆w

φ(u)) •
∆u

u
u u + ∆u

dw
3. φ t(u) =
du

= l´ım
∆u→0

. ∆w .
∆u

= l´ım
∆u→0φ(u +∆u) − φ(u)
∆u

es la razo´n de cambio instant´anea de la

variable w con respecto a la variable u.
dw

Es decir, la derivada
du

es la raz´on de cambio instant´anea de w con respecto a u.

Comentario adicional.
En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t ≥ 0, es usual referirse a la derivada como una rapidez (o velocidad) de cambio, en lugar dedecir raz´on de cambio instant´anea con respecto a t. Por ejemplo:

• si x = φ(t) es la posici´on de un m´ovil en el instante de tiempo t ≥ 0, entonces

dx
= φ t(t) es la
dt

rapidez de cambio de la posici´on x = φ(t), que es la velocidad instant´anea del m´ovil.

dv

• si v = g(t) es la velocidad de un m´ovil en el instante de tiempo t ≥ 0, entonces

= g t(t) es la
dtrapidez de cambio de la velocidad v = g(t), que es la aceleracio´n instant´anea del m´ovil.

Supongamos que tenemos una funci´on de la que queremos medir su raz´on de cambio. Si la funci´on se encuentra relacionada con otras de las cuales es m´as facil calcular la derivada y logramos que todas ellas aparezcan en una misma igualdad podremos entonces igualar la derivada de ambosmiembros y de aqu´ı despejar la razo´n de cambio deseada que aparecer´a ahora en t´erminos de las otras. Decimos que tenemos un problema de razones de cambio relacionadas.

En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qu´e es lo que se pide en el problema? as´ı como, ¿qu´e es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a...