Recta de Regresi n por m nimos cuadrados
Páginas: 3 (699 palabras)
Publicado: 13 de agosto de 2015
Recta de Regresión por mínimos cuadrados
Cuando la nube de puntos adopta una forma definida, se pueden aproximar sus puntos mediante una línea curva en general, que llamamos curva de regresión.Sólo nos ocuparemos del caso en el que la curva de regresión es una recta, llamada recta de regresión. Nos centraremos entonces en calcular la ecuación de una recta que "mejor se adapte" a una nube depuntos dada. En los ejemplos anteriores lo hemos hecho a ojo, ahora lo haremos con un criterio más preciso.
Para ello existen varios métodos, siendo el más utilizado el de los mínimoscuadrados. Consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales y los obtenidos mediante la recta. Por lo tanto, si consideramos la Y=aX+b, mediríamos lo bien (o mal)que se ajusta a nuestros puntos por medio de la cantidad
∑ i=1 N ( y i −( a x i +b ) ) 2 = ∑ i=1 N ( y i −a x i −b ) 2
y la recta que estamos buscando es la que haga esta cantidad lo máspequeña posible.
Una vez realizados los cálculos correspondientes, se tiene que la ecuación de la recta de regresión es:
y− y ¯ = σ xy σ x 2 (x− x ¯ )
donde σx σy son las desviaciones típicas de x e y.
Secomprueba que, como indicamos anteriormente, la recta obtenida pasa por el punto (x, y) que coincide con el centro de gravedad de la nube de puntos.
7. Método de los Mínimos Cuadrados n (Xi X i )(Yi Y i) i 1 1 n (Xi X i )2 i 1 0 Y 1 XError = Y observada o real – Ŷ estimadaEl método minimiza la suma de estos errores elevada alcuadrado, para evitar el valor cero que ocurre cuando sesuman loserrores. 7
8. Para simplificar lo anterior… n n (Xi X i )(Yi Y i ) (Xi X i )(Yi Y i ) SPXY Covarianza XY i 1 i 11 n (Xi X i )2 n i 1 (Xi X i )2 SPXX Varianza X i 1 SPXY n (Yi Y i ) 2 SPYY Varianza Y 1 SPXXi 1 Se guarda para después… 8
Se llama línea de mejor ajuste y se define como la línea que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a ella de todos los puntos que...
Cuando la nube de puntos adopta una forma definida, se pueden aproximar sus puntos mediante una línea curva en general, que llamamos curva de regresión.Sólo nos ocuparemos del caso en el que la curva de regresión es una recta, llamada recta de regresión. Nos centraremos entonces en calcular la ecuación de una recta que "mejor se adapte" a una nube depuntos dada. En los ejemplos anteriores lo hemos hecho a ojo, ahora lo haremos con un criterio más preciso.
Para ello existen varios métodos, siendo el más utilizado el de los mínimoscuadrados. Consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales y los obtenidos mediante la recta. Por lo tanto, si consideramos la Y=aX+b, mediríamos lo bien (o mal)que se ajusta a nuestros puntos por medio de la cantidad
∑ i=1 N ( y i −( a x i +b ) ) 2 = ∑ i=1 N ( y i −a x i −b ) 2
y la recta que estamos buscando es la que haga esta cantidad lo máspequeña posible.
Una vez realizados los cálculos correspondientes, se tiene que la ecuación de la recta de regresión es:
y− y ¯ = σ xy σ x 2 (x− x ¯ )
donde σx σy son las desviaciones típicas de x e y.
Secomprueba que, como indicamos anteriormente, la recta obtenida pasa por el punto (x, y) que coincide con el centro de gravedad de la nube de puntos.
7. Método de los Mínimos Cuadrados n (Xi X i )(Yi Y i) i 1 1 n (Xi X i )2 i 1 0 Y 1 XError = Y observada o real – Ŷ estimadaEl método minimiza la suma de estos errores elevada alcuadrado, para evitar el valor cero que ocurre cuando sesuman loserrores. 7
8. Para simplificar lo anterior… n n (Xi X i )(Yi Y i ) (Xi X i )(Yi Y i ) SPXY Covarianza XY i 1 i 11 n (Xi X i )2 n i 1 (Xi X i )2 SPXX Varianza X i 1 SPXY n (Yi Y i ) 2 SPYY Varianza Y 1 SPXXi 1 Se guarda para después… 8
Se llama línea de mejor ajuste y se define como la línea que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a ella de todos los puntos que...
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