Recta Tangente A La Parabola

Ecuación de la recta Tangente a la Parábolay 2 = 4px Al igual que para la circunferencia, se tienen tres situaciones: 1. Tangente eneln punto de contacto dado 2. Tangente desde un punto exterior 3.Tangente con una pendiente dada Consideraremos los casos 1 y 2 con ejemplos y el segundo se dará la situación general. Example 1 1. Hallar la ecuación de la recta tangente, de pendiente m = a laparábola y 2 8x = 0 1;

Al detallar la ecuación dada, se tiene que es una parábola con vértice en el origen y eje focal el eje x, para la cual p = 2; longitud del lado recto j4pj = 8, coordenadas del focoF (2; 0), y cuya grá…ca se encuentra enseguida.

y

6 4 2

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

6

8

x

10

Ahora, cualquier recta de pendiente 1;tiene por ecuación y = x+k, donde k 2 R:Sustituyendo el valor de y = x + k en la ecuación de la parábola, y simpli…cando, tenemos: y2 2 ( x + k) x2 + (8 + 2k)x + k 2 = 8x = 8x = 0

y por la condición de tangencia, se tiene que eldiscriminante de la última ecuación debe ser cero, de esta manera, (8 + 2k)2 4(1)(k 2 ) = 0

solucionando esta ecuación encontramos que k = 2 y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es y = x 2: 1Example 2 2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola x2 4y + 17 = 0: La recta es trazada desde el punto (2; 4):

6x

Escribiendo la ecuación de la parábola en la forma canónica: (x 3)2= 4(y 2); por lo que su vértice es el punto (3; 2); p = 1 y eje focal paralelo al eje y: La grá…ca de la parábola y las rectas tangentes se muestran al …nal de este ejemplo. Para hallar la ecuaciónde la tangente notemos que cualquier recta que pase por el punto (2; 4); tiene la forma y + 4 = m(x 2);por lo que nuestro interés es hallar el valor de m talque la recta sea tangente a la parábola.Reemplazando este valor de y en la ecuación de la parábola y simpli…cando, tenemos que x2 (6 + 4m)x + (8m + 33) = 0 la condición de tangencia implica que el discriminante de esta ecuación debe ser...