Rectas En El Espacio

“Curvas en R2 y Ecuaciones Paramétricas”























INDICE




1. Ecuación Paramétrica De La Línea Recta……………………………… 3


2. Curvas Planas……………………………………………………………………….. 5


3. Ecuaciones Paramétricas de algunas curvas………………………… 6


4. Derivada De Una Función Paramétrica…………………………………. 7


5. CoordenadasPolares…………………………………………………………….. 9


6. Curvas Planas En Coordenadas Polares…………………………… …. 11


















1.1- RECTAS EN EL ESPACIO
En el plano, se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio, es mas conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.
En la siguiente figura se considera la recta L a través del punto P(x1,y1,z1) y paralela al vector v= . El vector v es un vector de direccióno director de la recta L, y a, b y c son los números de dirección (o directores). Una manera de describir la recta L es decir que consta de todos los puntos Q(x, y, z) para los cuales el vector PQ es paralelo a v. Esto significa que PQ es un múltiplo escalar de v, y se puede escribir PQ = tv, donde t es un escalar (un numero real).


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PQ= = = tv

Igualando los componentescorrespondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

ECUACIONES PARAMETRICAS
Una recta L paralela al vector v= y que pasa por el punto P(x1, y1, z1) se representa por medio de las ecuaciones paramétricas
X= x1+at, y= y1+bt y z=z1+ct.

Ejemplo
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto (1, -2, 4) y es paralela a v=.Solución
Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, se usan las coordenadas x=1, y=-2 y z=4, y los números de dirección a=2, b=4 y c=-4.


ECUACIONES PARAMETRICAS x= 1+2t, y=-2+4t, z=4-4t




[pic]
1.2- CURVAS PLANAS
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones

X= f(t) y y=g(t)

Se lesllama ecuaciones paramétricas y a t se le llama parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varia sobre el intervalo I se le llama grafica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la grafica, juntas, es a lo que llamamos curva plana, que se denota por C.

Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45º .
Si lavelocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólica dada por

Y= -(x^2/72)+x

Sin embargo esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice donde se encuentra el objeto, no dice cuando se encuentra en un punto dado (x, y). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y comofunciones de t, se obtienen las ecuaciones paramétricas.

X= 24√2t y= 16t^2+24√2t



A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t=0, el objeto se encuentra en el punto (0,0). De manera semejante, en el instante t=1, el objeto esta en el punto (24√2, 24√2 -16) y así sucesivamente. En este problema particular de movimiento x y y son funcionescontinuas de t y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana.




1.3- ECUACIONES PARAMETRICAS DE ALGUNAS CURVAS


Lemniscata de Bernoulli. La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es unaconstante. En
contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en latín significa "cinta colgante". Su figura es el símbolo usado en matemáticas para representar infinito (∞).

Ecuación: x=asen(t)/(1+cos2(t)) y=asen(t)cos(t)/(1+cos2(t)...