Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio
Ecuación vectorial de la recta

Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y �⃗ su vector
𝑢𝑢

director, el vector �����⃗ tiene igual dirección que �⃗, luego𝑃𝑃𝑋𝑋
𝑢𝑢

es igual a �⃗ multiplicado por un escalar:
𝑢𝑢

Ecuaciones paramétricas de la recta
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Igualando coordenadas se llega a:Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de losplanos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al
primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.
1

Ejemplos
por el punto A = (−1, 2,1) y cuyo vector director es �⃗ = (4,5, −1) .
𝑢𝑢

1. Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa

2. Hallar las ecuaciones paramétricas, en formacontinua e implícita de la recta que pasa
por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3. Sea r la recta de ecuación:

2

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

4. Dada la rectaHallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

3

Ecuaciones del plano
Ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Paraque el punto P pertenezca al plano π el vector �����⃗ tiene que ser coplanario con �⃗ 𝑦𝑦 𝑣𝑣 Luego se
𝑃𝑃𝑋𝑋
𝑢𝑢 ⃗.

puede expresar como combinación lineal de ambos.

Ecuaciones paramétricas delplano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

4

Ecuación general o implícita del plano
Partiendo de las ecuaciones paramétricas, unpunto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitasλ y µ· Por tanto el determinante
de la matriz ampliada del sistema...