GUIA Rectas Y Planos En El Espacio

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Guía Matemática
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
tutora: Jacky Moreno

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1.

Rectas en el espacio

Anteriormente estudiamos las rectas en el plano cartesiano por medio de su ecuaci´on general (L1 :
ax + by + c = 0) y su ecuaci´
on principal (L1 : y = mx + n). A continuaci´on estudiaremos la ecuaci´
on
vectorial de una recta en el plano y en el espacio.
Paradeterminar la ecuaci´
on vectorial de una recta en el plano cartesiano es necesario tener un punto
conocido por el que pasa la recta, en este caso lo hemos simbolizado con la letra A y sus coordenadas
son A(a1 , a2 ). Adem´
as se necesita un vector director, que corresponde a un vector que tiene la misma
direcci´on que nuestra recta, vale decir, son paralelas, en este caso lo hemos simbolizado como vy sus
coordenadas son v = (v1 , v2 ).

Como muestra la siguiente figura a partir de un punto A y de un vector posici´on v que ha sido trasladado de tal forma que el origen de este coincida con el punto A se puede obtener gr´aficamente la recta
L que estamos buscando.

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Ahora, para deducir la ecuaci´
on matem´atica que me permite identificar todos los puntos de la recta,
debemosrazonar de la siguiente forma. Primero identificamos uno de los infinitos puntos no conocidos de
la recta, en este caso lo hemos simbolizado con la letra P y sus coordenadas son P (x, y) y luego trazamos
los dos vectores de posici´
on de los puntos A y P los cuales corresponden a dos vectores cuyo origen
coincide en el punto O(0, 0) y cuyos extremos son A(a1 , a2 ) y P (x, y).

De acuerdo alesquema de vectores realizado anteriormente tenemos lo siguiente:
−−→ −→ −→
OP = OA + AP
−−→ −→
OP = OA + λv

con λ ∈ R

(x − 0, y − 0) = (a1 − 0, a2 − 0) + λ(v1 , v2 )
(x, y) = (a1 , a2 ) + λ(v1 , v2 )

con λ ∈ R

con λ ∈ R

De este modo la ecuaci´
on vectorial de una recta en el plano queda expresada por:
con λ ∈ R

p = a + λv

(x, y) = (a1 , a2 ) + λ(v1 , v2 )

con λ ∈ R

Donde a corresponde alvector posici´
on de un punto perteneciente a la recta, v corresponde al vector
director, paralelo a la recta, y λ es un par´ametro que al tomar distintos valores nos entrega diferentes
puntos que forman la recta.

Desaf´ıo 1
Dada la ecuaci´
on vectorial de la recta determina la correspondiente ecuaci´on principal.
Respuesta

Ahora bien, si queremos conocer la ecuaci´
on vectorial de una recta en elespacio basta con
generalizar la ecuaci´
on vectorial de una recta en el plano deducida anteriormente. De esta forma, si
A(a1 , a2 , a3 ) es un punto perteneciente a la recta y v = (v1 , v2 , v3 ) es el vector director de dicha recta,
entonces la ecuaci´
on vectorial de la recta en el espacio es:

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con λ ∈ R

p = a + λv

(x, y, z) = (a1 , a2 , a3 ) + λ(v1 , v2 , v3 )

con λ ∈ R✎ Ejemplo
Determinar la ecuaci´
on vectorial de la recta que pasa por los puntos P (−2, 5, −4) y Q(−1, 13, 9).
Soluci´
on: Para obtener la ecuaci´
on vectorial de la recta debemos primero obtener el vector director de
−−→
´esta, en este caso, un vector director es v = P Q. De este modo tenemos que:
−−→
P Q = (−1 − −2, 13 − 5, 9 − −4)
−−→
P Q = (1, 8, 13)
−−→
Ahora si reemplazamos el vectordirector P Q y cualquiera de los dos puntos, por ejemplo, P (−2, 5, −4),
en la ecuaci´on vectorial p = a + λv obtenemos:
(x, y, z) = (−2, 5, −4) + λ(1, 8, 13)

✍ Ejercicios

1

1. Determina la ecuaci´
on vectorial de la recta que pasa por los puntos A(3, 6) y B(−2, 0).
2. Determinar la ecuaci´
on principal de la recta (x, y) = (5, 12) + λ(9, −2) con λ ∈ R.
3. Determina la ecuaci´
on vectorial de larecta que pasa por el origen y cuyo vector director es t =
(−12, 7).
4. Determina la ecuaci´
on vectorial de la recta que pasa por el punto P (3, 7, −10) y que es paralela a
la recta L : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, −6, 0) con λ ∈ R.

4

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5. Determina la ecuaci´
on vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 3) y que es paralela a la recta
1
y = 5x − .
2
6. Determina la ecuaci´...