rectas y planos

TEMA 1.6.1 ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Consideremos una recta en el espacio y un vector paralelo a la recta , sea un “punto conocido sobre la recta”, como se muestra en la Figura1.6.1. Sea Q un punto “ no conocido” sobre la recta que se quiere determinar en términos del punto y el vector . Supongamos que ,= (,,) y que Entonces se tiene para α R que

ya que el vectorresulta ser paralelo a la recta y por tanto al vector . La ecuación anterior llamada “La ecuación vectorial de la recta “se puede escribir como sigue en términos de las componentes,


Por laigualdad de los componentes de los vectores se tiene que:



Que son llamadas las ecuaciones paramétricas de la recta .
Si en las ecuaciones paramétricas despejamos en cada una el parámetro t,e igualamos los resultados, se obtiene

Que se conocen como las ecuaciones simétricas de la recta .
Ejemplo 1
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que tiene un vectordirector y pasa por el punto
Solución
La forma de las ecuaciones paramétricas es z
Donde y , con eso
; ;
Para hallar las ecuacionessimétricas se puede hacer de dos maneras la primera es tomar directamente la forma de las ecuaciones simétricas dada, y la segunda es tomar la ecuación paramétrica encontrada y despejar el parámetro t. Como yaconocemos las ecuaciones paramétricas procedamos a despejar α en las ecuaciones paramétricas encontradas, e igualemos los resultados, se obtiene


Ejemplo 2 Dada la ecuación simétrica de larecta .

Hallar el vector director y un punto en la recta

Solución
Primero debemos arreglarla ecuación a la forma dela ecuación simétrica, esto es


Simplificando tenemos


Ya escrita enla forma simétrica, del numerador extraemos el punto del denominador extraemos el vector

Ángulo entre rectas
Dadas las rectas y del espacio, los respectivos vectores directores, el...