Reductor de velocidad

METODO DE DIFERENCIAS FINITAS
INTRODUCCION
El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las
ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta
aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.
Básicamente, en una solución pordiferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en
diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico
fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).
METODO DE EXPANSION DE TAYLOR
El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este
método nosolo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que también deduce los términos de
error.
Para una derivada de p−ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una
aproximación de diferencia es
, así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo
menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción dela aproximación de diferencia para
en términos de
. La expansión de Taylor de
alrededor de
es
(1). Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada, tenemos
(2). Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2),
obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Los términos que se ignoran constituyen el error
de truncado,representado por el término inicial,
. Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando
disminuye. La aproximación de diferencia hacia adelante, con el error de truncado incluido, se expresa como

(3), dónde
. El término
indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula
. El error también es proporcional a la segunda derivada
.
De la mismamanera podemos expandir
alrededor de

1

en la forma
(4), y resolviendo nuevamente para la primera derivada, tenemos
y aquí de la misma manera
(5), dónde
. Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás.
Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):

(6), expresión de la cual se ha eliminado el término
. Resolviendo para
, obtenemos
(7).
Con el término de errorincluido, la aproximación de diferencia central se expresa como
(8), dónde
.
Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término
, el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de
y no a
. Entonces, reduciendo
reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones.
Como ya se expuso, una aproximación de diferencia de
requiere al menos
puntos dedatos. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia
mas exacta.
Como ilustración de lo anterior, deduciremos una aproximación de diferencia para la primera derivada
utilizando tres puntos de datos
, de modo que tenemos un punto mas del mínimo requerido. Las expansiones para
se escriben:

(9).

2

(10).
Con éstas dos ecuaciones es posiblecancelar los términos de la segunda derivada, de modo que el término
inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. Por otro lado, si se eliminaran
los términos de la tercera derivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada, la
aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el término del error inicial sería de segundoorden en lugar de ser de tercer orden.
Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10), obtenemos

(11). Resolviendo para
:

(12), dónde el término de error está dado por
. La (12) es la aproximación de diferencia hacia adelante de tres puntos. Su error es del mismo orden que el de
la aproximación por diferencia central de dos puntos.
Análogamente, la aproximación de diferencia hacia atrás...