Regla de bayes

Regla de Bayes
Consideremos un modelo como el que planteamos al estudiar la probabilidad total, en el cual el espacio muestral estaba particionado y se quería calcular la probabilidad de un suceso Acontenido en ese espacio muestral. Supongamos ahora que lo que sea desea no es la probabilidad del suceso A sino la probabilidad de una de las partes, sabiendo que ocurrió A. El lector podrá advertirque esto está íntimamente relacionado con lo que se dijo al estudiar la probabilidad condicional: que cuando se aplica una condición, el nuevo espacio muestral pasa a ser el suceso en el cual secumple esa condición, y entonces las probabilidades cambian porque ahora están referidas a un nuevo espacio muestral (si esto no se entiende inmediatamente recomendamos repasar las secciones 1.4, 1.5 y1.6) Dijimos entonces que el espacio muestral E estaba particionado, y que se sabe que ocurrió A, y entonces se desea calcular la probabilidad de cada parte (es decir, calcular las nuevasprobabilidades, referidas al espacio muestral A).

a priori conocemos las probabilidades originales de las partes, o sea las P(pi)

a posteriori conocemos las probabilidades de las partes sabiendo que ocurrióA, o sea las P(pi/A)

Si queremos calcular la probabilidad de la parte pi, sabiendo que ocurrió A, planteamos:
P  pi / A= P  pi ∩ A P  A

En el denominador usamos la fórmula de laprobabilidad total, y nos queda:

P  pi / A =

P  pi ∩ A 

∑ P  pi ∩ A 
i=1

n

A continuación damos vuelta las dos intersecciones y aplicamos la definición de probabilidad condicional, yqueda:
P  pi ∩ A 

∑ P  pi ∩ A 
i=1

n

=

P  A∩ pi 

∑ P  A∩ pi 
i=1

n

=

P  A/ pi  P  pi 

∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1

n

En conclusión:
P  pi / A = P  A/ pi P  pi 

∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1

n

Lo cual se conoce como regla de Bayes ó fórmula de Bayes. Observemos que se tienen como dato las probabilidades originales de las partes y la...