Regla De La Cadena

REGLA DE LA CADENA
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuandoexiste composición de funciones.
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Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende deuna tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u conrespecto a x.
Descripción algebraica
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si  es diferenciable en  y  es una función diferenciable en , entoncesla función compuesta es diferenciable en  y

Notación de Leibniz
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

donde  indica que g depende de f como siésta fuera una variable.
DEMOSTRACION DE LA REGLA DE LA CADENA.
Sea

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando ydividiendo entre 

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Ejemplos de aplicación
Ejemplo conceptual
Supóngase que seestá escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemploalgebraico
Por ejemplo si  es una función derivable de  y si además  es una función derivable de  entonces  es una función derivable con:

o también

Ejemplo 1

y queremos calcular:

Por un...