Regla de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital oregla del'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluarlímites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del sigloXVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), elprimer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.



Enunciado
La reglade L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo  o .
Sean f y g dos funciones continuas definidas enel intervalo [a,b],derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 yg'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es iguala L. Por lo tanto,


Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requierede argumentos de tipo ε-δ más delicados.
Como g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c, se tiene que g(x)≠0 si x≠c como consecuencia del Teorema de Rolle.
Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema delValor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos x y c, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende hacia c, así que:

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa....