Regla de l’hôpital
Páginas: 8 (1779 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2010
Regla de L’Hôpital e integrales impropias.
Notas de clase para Matemáticas 2, CB0212.
Patricia Gómez Palacio. pagomez @eafit.edu.co
Universidad Eafit Ciencias Básicas
Semestre 2 de 2008
1
1.
Regla de L’Hôpital
El cálculo de algunos límites que involucran formas indeterminadas del tipo 0/0, o ∞/∞, no se pueden abordar de forma fácil con los métodos básicos de factorización uotros, aprendidos en cursos anteriores lo que crea la necesidad de estudiar la regla de L’Hôpital, la cual es un teorema que aplica la derivada de una función en el cálculo de determinados límites y cuyo nombre hace referencia al matemático francés Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital quien es el primer matemático en citar la regla en sus escritos. Teorema 1.0.1 Regla de L’Hôpital. Sean f y gfunciones que son derivables en un intervalo abierto (a, b) conteniendo a c, excepto posiblemente el propio c. Asumir que g (x) = 0 para todo x en (a, b), excepto posiblemente en el propio c. Si el límite de f (x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces, f (x) f (x) = l´m ı x→c g (x) g(x) supuesto que el límite en la derecha existe ( o es infinito). Este resultadotambién aplica si el límite de f (x)/g(x) cuando x tiende a c produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (−∞)/∞, ∞/(−∞) o (−∞)/(−∞)
x→c
l´m ı
Nota. Al aplicar la regla de L’Hôpital tener presente las siguientes recomendaciones: 1. Verificar que realmente el límite que se está calculando presenta una de las indeterminadas permitidas.
f (x) 2. Tener cuidado en la interpretación de laexpresión g (x) , la cual involucra la derivada de las funciones f y g y no la derivada del cociente f /g.
Ejemplos 1. Forma indeterminada 0/0. Evaluar el siguiente límite ex − 1 l´m ı x→0 x Solución: Dado que e0 = 1, se tiene que al evaluar directamente el valor de 0 en el numerador y el denominador de la expresión tenemos que: l´mx→0 ex − 1 = 0 y ı l´mx→0 x = 0, lo que indica que podemosaplicar la regla de L’Hôpital, así: ı ex ex − 1 = l´m = 1 ı l´m ı x→0 1 x→0 x 2
2. Forma indeterminada ∞/∞. Evaluar el siguiente límite ln x x→∞ x l´m ı Solución:Para abordar el cálculo de este límite es necesario recordar que la función logaritmo natural es una función creciente y que por consiguiente, cuando x tiende a infinito ln x también tiende a infinito. Se debe observar que en este caso esnecesario conocer el comportamiento de la función, más que su valor en un punto específico como fue el caso del ejemplo anterior. Se tiene entoces que la tendencia, tanto del numerador como del denominador de la fracción, cuando x tiende a infinito es infinito y que por tanto podemos aplicar la regla de L’Hôpital, así: ln x 1/x 1 = l´m ı = l´m = 0 ı x→∞ x x→∞ 1 x→∞ x l´m ı 3. Forma indeterminada ∞ · 0.Evaluar el siguiente límite
x→∞
l´m xe−x ı
Solución: Por el comportamiento de la función exponencial, sabemos que l´mx→∞ e−x = 0 y por consiguiente el límite a evaluar presenta la forma indetermiı nada ∞ · 0, la cual podemos llevar a la forma ∞/∞, al escribir el producto en la forma equivalente de cociente, y entonces aplicar la regla de L’Hôpital, así:
x→∞
l´m xe−x = l´m ı ı
x 1 =l´m x = 0 ı x x→∞ e x→∞ e
4. Forma indeterminada ∞ − ∞. Al igual que en el ejemplo anterior, la forma indeterminada ∞ − ∞ puede llevarse a la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞ y calcular el límite aplicando la regla de L’Hôpital. Evaluar el siguiente límite: l´m ı 8 x − x2 − 4 x − 2
x→2+
Observar que al evaluar directamente el valor de 2 en las dos fracciones se tiene que cada una es de laforma una constante distinta de 0 sobre 0 y por consiguiente tenemos una indeterminada de la forma ∞ − ∞. Para llevar esta expresión a una indeterminación 3
de la forma empezamos por hacer la resta entre las fracciones, tomando como común denominador x2 − 4, así
x→2+
l´m ı
8 x − x2 − 4 x − 2
= l´m ı
x→2+
8 − x(x + 2) x2 − 4
Observamos que al evaluar directamente el valor de 2...
Notas de clase para Matemáticas 2, CB0212.
Patricia Gómez Palacio. pagomez @eafit.edu.co
Universidad Eafit Ciencias Básicas
Semestre 2 de 2008
1
1.
Regla de L’Hôpital
El cálculo de algunos límites que involucran formas indeterminadas del tipo 0/0, o ∞/∞, no se pueden abordar de forma fácil con los métodos básicos de factorización uotros, aprendidos en cursos anteriores lo que crea la necesidad de estudiar la regla de L’Hôpital, la cual es un teorema que aplica la derivada de una función en el cálculo de determinados límites y cuyo nombre hace referencia al matemático francés Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital quien es el primer matemático en citar la regla en sus escritos. Teorema 1.0.1 Regla de L’Hôpital. Sean f y gfunciones que son derivables en un intervalo abierto (a, b) conteniendo a c, excepto posiblemente el propio c. Asumir que g (x) = 0 para todo x en (a, b), excepto posiblemente en el propio c. Si el límite de f (x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces, f (x) f (x) = l´m ı x→c g (x) g(x) supuesto que el límite en la derecha existe ( o es infinito). Este resultadotambién aplica si el límite de f (x)/g(x) cuando x tiende a c produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (−∞)/∞, ∞/(−∞) o (−∞)/(−∞)
x→c
l´m ı
Nota. Al aplicar la regla de L’Hôpital tener presente las siguientes recomendaciones: 1. Verificar que realmente el límite que se está calculando presenta una de las indeterminadas permitidas.
f (x) 2. Tener cuidado en la interpretación de laexpresión g (x) , la cual involucra la derivada de las funciones f y g y no la derivada del cociente f /g.
Ejemplos 1. Forma indeterminada 0/0. Evaluar el siguiente límite ex − 1 l´m ı x→0 x Solución: Dado que e0 = 1, se tiene que al evaluar directamente el valor de 0 en el numerador y el denominador de la expresión tenemos que: l´mx→0 ex − 1 = 0 y ı l´mx→0 x = 0, lo que indica que podemosaplicar la regla de L’Hôpital, así: ı ex ex − 1 = l´m = 1 ı l´m ı x→0 1 x→0 x 2
2. Forma indeterminada ∞/∞. Evaluar el siguiente límite ln x x→∞ x l´m ı Solución:Para abordar el cálculo de este límite es necesario recordar que la función logaritmo natural es una función creciente y que por consiguiente, cuando x tiende a infinito ln x también tiende a infinito. Se debe observar que en este caso esnecesario conocer el comportamiento de la función, más que su valor en un punto específico como fue el caso del ejemplo anterior. Se tiene entoces que la tendencia, tanto del numerador como del denominador de la fracción, cuando x tiende a infinito es infinito y que por tanto podemos aplicar la regla de L’Hôpital, así: ln x 1/x 1 = l´m ı = l´m = 0 ı x→∞ x x→∞ 1 x→∞ x l´m ı 3. Forma indeterminada ∞ · 0.Evaluar el siguiente límite
x→∞
l´m xe−x ı
Solución: Por el comportamiento de la función exponencial, sabemos que l´mx→∞ e−x = 0 y por consiguiente el límite a evaluar presenta la forma indetermiı nada ∞ · 0, la cual podemos llevar a la forma ∞/∞, al escribir el producto en la forma equivalente de cociente, y entonces aplicar la regla de L’Hôpital, así:
x→∞
l´m xe−x = l´m ı ı
x 1 =l´m x = 0 ı x x→∞ e x→∞ e
4. Forma indeterminada ∞ − ∞. Al igual que en el ejemplo anterior, la forma indeterminada ∞ − ∞ puede llevarse a la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞ y calcular el límite aplicando la regla de L’Hôpital. Evaluar el siguiente límite: l´m ı 8 x − x2 − 4 x − 2
x→2+
Observar que al evaluar directamente el valor de 2 en las dos fracciones se tiene que cada una es de laforma una constante distinta de 0 sobre 0 y por consiguiente tenemos una indeterminada de la forma ∞ − ∞. Para llevar esta expresión a una indeterminación 3
de la forma empezamos por hacer la resta entre las fracciones, tomando como común denominador x2 − 4, así
x→2+
l´m ı
8 x − x2 − 4 x − 2
= l´m ı
x→2+
8 − x(x + 2) x2 − 4
Observamos que al evaluar directamente el valor de 2...
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