Ejercicios De La Regla De L'Hôpital

Ejercicios de la regla de L'Hôpital
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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hôpital
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Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

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Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

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Problemas de razon de Cambio
Problema dela sombra
Paulina, de   de alto, corre en la noche alejandose de un poste a la velocidad de  el foco del poste que ilumina a Paulina esta a   de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de lella crece (¿es verdad? o ¿realmente decrece?).
Contestemos las siguientes preguntas
a.- ¿A qué velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ?
b.- El extremo de la sombra se aleja tambiéndel poste, la velocidad de este alejamiento ¿ es la misma velocidad de la niña? o ¿es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?.

Sea:
 la distancia de la niña al poste en el instante 
 el largo de la sombra de la niña en el tiempo 
Entonces la velocidad de la niña es  y en término de estas variables, lo que buscamos para contestar la primera pregunta es 
Lo que debemoshacer es encontrar una relación en donde aparezca  y después derivar.
Como los triángulos  y  son semejantes (tienen los mismos ángulos), se da la siguiente relación entre los lados

y de esta forma tenemos

Que es lo mismo que

derivando a ambos lados

La pregunta b se refiere a la derivada de la suma  y como conocemos cada derivada, la respuesta es no es igual a ninguna de las dossugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es 
Supongamos ahora que Pedrito es el que corre, pero a 
´¿Cuál corre más rápido, Pedrito o la niña?
Si Pedrito mide  ¿A qué velocidad el extremo de la sombra se aleja del poste?
Problema de la escalera
Una escalera de metal con ruedas en su base esta apoyada en una muralla de tal forma que su extremo superior esta a  del suelo. El bloqueo de susruedas le impide moverse. La escalera mide  de largo y es pesada de modo tal que cuando se desbloquean las ruedas la escalera se desliza en la muralla moviendose su extremo superior a la velocidad de  Cuando esta a un metro del suelo ¿a qué velocidad se mueven las ruedas en ese instante?
Para contestar esa pregunta necesitamos definir algunas variables y hacer un diagrama del problema
Eldiagrama del problema es:.

Sean:
 la distancia de las ruedas a la muralla y
 la distancia del extremo superior de la escalera al suelo.
Por lo tanto  y lo que buscamos es  en  que es el instante en que la escalera está a  del suelo, es decir,  metro.
Como se ve, la muralla con la escalera y el suelo en todo tiempo  forman un triángulo rectángulo asi tenemos el teorema de Pitágoras,

derivandoen ambos lados de la igualdad (y usando la regla de la cadena) tenemos

y por lo tanto en el instante 

Usando  podemos obtener 

Por lo tanto las ruedas se deslizan a la velocidad de

¿Por qué nos dió una respuesta negativa?
Por el sistema de referencia elegido; como la distancia  disminuye, la velocidad de caida de la escalera debería ser negativa, es decir, en vez de haber puesto...