Regla l'hopital

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La regla de L'Hopital

Introducción
Es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este método permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados anteriormente no era posible resolver. Teorema Sean f y gfunciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en cierto intervalo [a, b] y tales que f (a ) = g (a ) = 0 . f ' ( x) f ( x) Entonces, si lim existe , también existirá lim y además x→ a g ' ( x ) x→ a g ( x) f ( x) f ' ( x) lim = lim x→ a g ( x) x→ a g ' ( x ) f ' ( x) f ( x) También, si lim = ∞ entonces x lim =∞ x → a g ' ( x) x→a g ( x)
Ejemplos:

e x − e−x (1) Calcule lim x →0senx
Solución: Observe que e 0 − e 0 = 1 − 1 = 0 , sen 0 = 0 por lo que se tiene la forma

0 0

Luego utilizando el teorema anterior tenemos
e x − e−x e x − e − x (−1) e x + e−x 2 = lim = lim = =2 lim x →0 x →0 x →0 senx cos x cos x 1

Nota: Si f ' (a ) = 0 y g ' (a ) = 0 y las derivadas f ' ( x) y g ' ( x) satisfacen las condiciones que se especificaron para las funciones f y g , según lahipótesis del teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo obteniéndose f ' ( x) f ' ' ( x) lim = lim x→ a g ' ( x ) x→ a g ' ' ( x ) 0 Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma . 0
(2) Calcule lim tan x − x x →0 x − senx

e y −1− y (3) Calcule lim y →0 y2

Se puede aplicar la regla de L'Hôpital a límites en que se presenta la forma la variableindependiente tiende hacia + ∞ ó a − ∞ . Ejemplos:

0 , cuando 0

x −2 (1) Calcule lim x → +∞ 2 sen 2    x Solución: cuando x → +∞ se tiene que Luego se presenta la forma 1 2 2 →0 ,y → 0 por lo que sen 2 → 0 . 2 x x x

0 y podemos aplicar la regla de L’Hôpital 0 − 2 x −3 x −2 x −3 x −1 = lim lim = lim = lim , que x → +∞ x → +∞  2   2  − 2 x →+∞ − 2  4  x →+∞ 4 2 2  2 sen cos  2 sen   x sen  sen   x  x  x x  x  x 0 es nuevamente de la forma por lo que volvemos a aplicar la regla: 0 −1 −2 x −x 1 1 lim = lim = lim = x → +∞  4  x →+∞  4  − 4 x →+∞ 4 4 sen  cos  ⋅ 2 4 cos   x  x x  x

1 sen   x (3) Calcule lim x → +∞ 1 arctan   x

Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otxras formas indeterminadas
La Regla deL'Hôpital también se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

Ejemplo: Calcule lim

e x + e−x x → +∞ e 2 x − e − x

e x + e−x e2x + 1 +∞ Solución: lim 2 x = lim 3 x que presenta la forma , luego −x x → +∞ e x → +∞ e +∞ −e −1 e2x + 1 2e 2 x 2 1 lim 3 x = lim 3 x = lim x = 0 x → +∞ e 3 x →+∞ e − 1 x →+∞ 3e

Límites que presentan la forma
Si lim f ( x) = 0 ylim g ( x) = ∞ entonces el lim[ f ( x) g ( x)] puede designarse por la
x→a x→a x→ a

forma que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L'Hôpital. Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan 0 ∞ ó las formas , como sigue: 0 ∞ i) lim[ f ( x) g ( x)] =
x→a

f ( x)
1 g ( x)

y se tiene

0 cuando 0 ∞cuando ∞

ii) lim[ f ( x) g ( x)] =
x→a

g ( x)
1 f ( x)

y se tiene

En estos dos casos sí es posible aplicar la Regla de L'Hôpital. Ejemplos: (1) Calcule lim [2 x ln x] +
x →0

Solución: lim [2 x ln x] , como x → 0 + entonces 2x → 0 + y ln x → −∞ . Entonces +
x →0

x→0

lim+ [2 x ln x] = lim +
x →0

ln x
1 2x

que presenta la forma
1 x −1 2 x2

−∞ lo que permite aplicar laRegla de +∞

L'Hôpital :
x→0

lim [2 x ln x] = lim + +
x →0

ln x
1 2x

= lim +
x →0

= lim − 2 x = 0 +
x →0

(2) Calcule lim+ senx ln x
x→0

 πx  (3) lim (1 − x ) tan   x →1−  2

Otras formas indeterminadas
Si en el lim[ f ( x)] g ( x ) presenta una las formas 0 0 , ∞ 0 ,1∞ , haciendo un procedimiento
x→a

algebraico, se puede transformar en una de las formas...