Reglas De Derivación

Reglas de derivación
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.
Índice
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1 Derivada de una función de grado n
2 Derivada de una constante por una función
3 Derivada de una suma[1]
4 Derivada de un producto
5 Derivada de un cociente
6 Regla de la cadena
7 Otrasreglas
7.1 Funciones inversas y diferenciación
7.2 Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable
7.3 Diferenciación implícita
8 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
9 Derivada de funciones trigonométricas
10 Derivada de funciones hiperbólicas
11 Véase también
12 Referencia
13 Enlaces externos
Derivada de una función de grado n[editar]Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por  y su derivada es .
Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.
Por ejemplo la función:

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo,así:

Quedando finalmente:

Considérese la función 
Se tiene:

Derivada de una constante por una función[editar]
Cuando una función esté representada por medio de , su derivada equivale a  de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de lamisma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que 
Derivada de una suma1 [editar]
Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cadauna.
Es decir,  o .
Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

Derivada de un producto[editar]
Artículo principal: Regla del producto (cálculo)
La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la sumaentre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."
Y matemáticamente expresado por la relación . Consideremos la siguiente función como ejemplo:

Identificamos a  y , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:
 y que 
Por lo tanto

Simplificando y organizando elproducto obtenido nos queda:


Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir  en donde  (sin importar que dos funciones escogemos).
Derivada de un cociente[editar]
Artículoprincipal: Regla del cociente
La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar,todo sobre la función del denominador al cuadrado".
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es  y se...