Regresión lineal

UNIVERSIDAD DE MURCIA

´ FUNDAMENTOS MATEMATICOS PARA EL ESTUDIO DEL MEDIO AMBIENTE ´ ´ Prof. Jose Antonio Pastor Gonzalez www.um.es/docencia/jpastor

Ejercicios resueltos del cap´ ıtulo 6: ´ MODELOS DE REGRESION 1. Problema 1

Para hacer un modelo de regresi´n necesitamos l´piz (o bol´ o a ıgrafo), folios y una calculadora elemental. Nada m´s. a En las pr´cticas era suficiente conintroducir los datos relativos a x y a y. Sin embargo, para a hacer las cosas sin ordenador hay que trabajar un poquito m´s. Por ese motivo vamos a hacer a ejercicios con pocos datos. La idea es escribir una tabla como la siguiente: xi 0.8 1 1.2 1.3 4.3 yi 1 2 3 5 11 x2 i 0.64 1 1.44 1.69 4.77
2 yi 1 4 9 25 39

Suma

x i yi 0.8 2 3.6 6.5 12.9

X= SXY
2 SX

4,3 11 = 1,075 = 2,75 Y = 4 4 n 1 12,9 =xi yi − XY = − 1,075 · 2,75 ≈ 0,26875 n 4
i=1 n

1 = n

x2 − X = i
i=1

2

4,77 − 1,0752 ≈ 0,0369 4

En dicha tabla, adem´s de introducir los valores de x e y, nos ayudamos de la calculadora a para hacer el resto de columnas y las sumas finales de cada una de ellas. A partir de esta tabla, y conociendo las f´rmulas de la varianza y la covarianza, las calculamos tal y como aparecen a lao derecha de la tabla. A partir de las medias, las varianzas y la covarianza se calculan los coeficientes de la recta de regresi´n de y sobre x. Recordemos que en la recta de regresi´n y = a + bx, los coeficientes a y b o o est´n dados por las siguientes f´rmulas: a o b= 0,26875 SXY 2 ≈ 0,0369 ≈ 7,283 SX y a = Y − bX ≈ 2,75 − 7,283 · 1,075 ≈ −5,0847.

Por lo tanto, la recta es y = −5,0847 +7,283x . Esta recta es la que mejor predice el comportamiento de la variable y en funci´n de la variable o x. As´ para calcular lo que podemos esperar que cueste un autom´vil de 1,1 Tm, basta sustituir ı, o ´ en la recta de regresi´n la x por 1,1: y(1,1) = −5,0847 + 7,283 · 1,1 = 2,9266 millones. Este es el o valor esperado (o valor que predice) nuestra regresi´n lineal para x = 1,1. o Para saber si lapredicci´n es fiable (si el ajuste es bueno), calculamos el coeficiente de correlaci´n o o lineal r:
2 SY =

1 n

n i=1

2 yi − Y =

2

39 − 2,752 ≈ 2,1875, 4

luego

r=

SXY 0,26875 √ ≈√ ≈ 0,9459, SX SY 0,0369 2,1875

que es bastante pr´ximo a 1. Por tanto, los resultados se pueden considerar fiables. o

2.

Problema 4

Si representamos los datos como puntos de coordenadas(xi , yi ) en el plano vemos que, efectivamente, ´stos podr´ ajustarse a una recta, lo que nos indica que la velocidad de reacci´n aumenta e ıan o “linealmente” con la concentraci´n de glucogenasa. o Al igual que en el problema anterior, debemos elaborar una tabla con los valores observados de las variables x e y y, a partir de ellos, completar las columnas siguientes ayudados de la calculadora.xi 0.2 0.5 1 2 3 6.7 yi 8 10 18 35 60 131 x2 i 0.04 0.25 1 4 9 14.29
2 yi 64 100 324 1225 3600 5313

60 50 40 30 20 10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Suma

xi yi 1.6 5 18 70 180 274.6

A partir de aqu´ hacemos tambi´n el c´lculo de los estad´ ı, e a ısticos descriptivos m´s sencillos: a medias, varianzas y covarianza. X=
2 SX

6,7 = 1,34 5 14,29 = − 1,342 = 1,0624 5

131 = 26,2 5 5313 2 SY =− 26,22 = 376,18 5 Y =

SXY =

274,6 − 35,108 = 19,812 5

A continuaci´n, calculamos los coeficientes a y b de la recta de regresi´n y = a + bx: o o b= SXY 19,812 2 = 1,0624 = 18,648343 SX y a = Y − bX = 26,2 − 18,648343 · 1,34 = 1,2112204.

La recta de regresi´n es y = 1,2112204 + 18,648343x ; en la figura se ve c´mo se ajustan los datos o o a ella. Para calcular la velocidad de reacci´n auna concentraci´n de 2,5 milimoles/litro, basta sustio o tuir x por 2,5 en la recta de regresi´n: y(2,5) = 1,2112204 + 18,648343 · 2,5 = 47,832078 micromoo les/minuto. Finalmente, vemos si el ajuste lineal es bueno calculando el coeficiente de correlaci´n lineal r: o r= SXY 19,812 √ =√ ≈ 0,9910555, SX SY 1,0624 376,18

que es muy pr´ximo a 1. Por tanto, la dependencia lineal es buena. o

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