Regresion lineal

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REGRESION LINEAL.
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

Donde β0 es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetrosindependientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

El modelo de regresión lineal
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas Xk (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros βk desconocidos:
(2)
donde es la perturbación aleatoria que recogetodos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo de dos variables explicativas, el hiperplano es una recta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos βk, de modo que la ecuación quedecompletamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que sepueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5)
Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.
Supuestos del modelo de regresión lineal
Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:[5]
1. La relación entre las variables es lineal.
2. Los errores sonindependientes.
3. Los errores tienen varianza constante.
4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero.
5. El error total es la suma de todos los errores.
Tipos de modelos de regresión lineal
Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:
Regresión lineal simple
Sólo se maneja una variable independiente, por lo quesólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:[6]
(6)
Donde es el error asociado a la medición del valor Xi y siguen los supuestos de modo que (media cero, varianza constante e igual a un σ y con ).
Análisis
Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:[7]
(7)
(8)
Calculando y . Para esto se buscan dichos parámetros que minimicenDerivando respecto a y e igualando a cero, se obtiene:[7]
(9)
(10)
Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:[6]
(11)
(12)
La interpretación del parámetro beta 2 es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en beta 2
Regresión lineal múltiple
Maneja varias variables independientes. Cuenta con variosparámetros. Se expresan de la forma:[8]
(13)
Donde es el error asociado a la medición i del valor Xip y siguen los supuestos de modo que (media cero, varianza constante e igual a un σ y con ).
Rectas de regresión
Las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube de puntos (o también llamado diagrama de dispersión) generada por una distribución binomial. Matemáticamente, sonposibles dos rectas de máximo ajuste:[9]
* La recta de regresión de Y sobre X:
(14)
* La recta de regresión de X sobre Y:
(15)

Correlación
La correlación ("r") de las rectas determinará la calidad del ajuste. Si r es cercano o igual a 1, el ajuste será bueno; si r es cercano o igual a 0, se tratará de un ajuste malo. Ambas rectas de regresión se intersecan en un punto llamado...
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