Regresion Lineal

Los datos de la tabla adjunta proporcionan el volumen (en pies cúbicos), altura (en pies) y diámetro (en pulgadas, medido a 54 pulgadas del suelo) de una muestra de 31 árboles del tipo cerezo negro, en el Allegheny National Forest, en Pensilvania. Con estos datos se quiere hacer un estudio sobre el rendimiento de la madera y, para ello, se ajusta un modelo de regresión lineal que permita predecirel volumen de un árbol cuando se conoce su altura y diámetro”.

Estimación de los coeficientes del modelo de regresión son

El modelo estimado es

Para calcular la varianza residual, dado que ∑=1ⁿyᵢ² = 36.324'99, utilizando (11) se obtiene:

La matriz de varianzas de los estimadores puede aproximarse por:

Intervalos de confianza al 90% de los parámetros del modelo.
Para la varianza σ²:

Para α₀ :

Para α₁ (diámetro):

Para α₂(altura):

Contrastes individuales de la t para los coeficientes del modelo de regresión.
Contraste C₀, H₀ : α₀ = 0 frente a

Contraste C₁ (diámetro), H₀: α₁ = 0 frente a

Por tanto la variable “diámetro” influye y explica el comportamiento de la variable respuesta
“volumen”.
Contraste C₂ (altura), H₀ : α₂ = 0 frente a

Por tantola variable “altura” influye y explica el comportamiento de la respuesta “volumen”.
Tabla ANOVA. Contraste conjunto de la F.
Se obtiene la siguiente tabla ANOVA,
Fuentes de variación | Suma de cuadrados | Grados de libertad | Varianzas |
| | | |
| | | |
| | | |

Fuentes de Suma de Grados de Varianzas
Variación Cuadrados libertad
Por el modelo 7.684'16 2 e
2 = 3.842'08Residual 421'92 28 R
2 = 15'06
Global 8.106'08 30 y
2 = 270'20
Con estos datos se obtiene el siguiente estadístico del contraste conjunto de la F,
23
Se rechaza la no influencia del modelo en la variable respuesta. En base a los resultados de los
contrastes individuales de la t y el contraste conjunto de la F se deduce la influencia de cada una de
las dos variables regresoras y lainfluencia conjunta del modelo de regresión en la variable de interés,
“volumen” de los árboles.
Contraste individual de la F.
A continuación se estudia el contraste sobre la influencia individual de la variable diámetro en la
respuesta volumen, utilizando el contraste individual de la F. Una vez calculado el modelo de
regresión completo (con las dos variables regresoras).
Tabla ANOVA (modelocompleto)
Fuentes de Suma de Grados de Varianzas
Variación Cuadrados libertad
Por el modelo 7.684'16 2 e
2 = 3.842'08
Residual 421'92 28
R
2 = 15'06
Global 8.106'08 30 y
2 = 270'20
Se calcula la regresión de volumen respecto a la altura:
Tabla ANOVA (una regresora)
Fuentes de Suma de Grados de Varianzas
Variación Cuadrados libertad
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Por altura 2.901'19 1 e
2 = 2.901'19
Residual5.204'90 29
R
2 = 179'48
Global 8.106'08 30 y
2 = 270'20
La suma de cuadrados incremental debida a la variable diámetro es
Este valor indica lo que aumenta la variabilidad explicada por el modelo al introducir la variable
diámetro.
Para contrastar la influencia o no de la variable altura se utiliza el estadístico
En este contraste se obtiene el mismo p-valor que el obtenido con el contrasteindividual de la t.
Coeficientes de determinación y de correlación.
El coeficiente de determinación
El modelo ajustado explica el 94.79% de la variabilidad de la respuesta.
El coeficiente de correlación múltiple,
El coeficiente de determinación corregido por el número de grados de libertad,
El coeficiente de correlación múltiple corregido por el número de grados de libertad,
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El coeficientede correlación simple entre las variables volumen y altura,
es una medida de la relación lineal existente entre las variables volumen y altura.
Otra forma de calcular el coeficiente de correlación simple es hacerlo a partir del coeficiente de
determinación de la siguiente regresión lineal simple,
La tabla ANOVA de este modelo es:
Fuentes de Suma de Grados de Varianzas
Variación Cuadrados...