Regresion lineal

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Regresión lineal

Ejemplo de una regresión lineal con unavariable dependiente y una variable independiente.
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientesXi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:donde β0 es la intersección o término "constante", las  son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.
Contenido [ocultar] * 1 Historia * 1.1 Etimología * 2 El modelo de regresión lineal * 3 Supuestos del modelo de regresiónlineal * 4 Tipos de modelos de regresión lineal * 4.1 Regresión lineal simple * 4.1.1 Análisis * 4.2 Regresión lineal múltiple * 5 Rectas de regresión * 6 Aplicaciones de la regresión lineal * 6.1 Líneas de tendencia * 6.2 Medicina * 7 Véase también * 8 Referencias * 9 Bibliografía * 10 Enlaces externos |
-------------------------------------------------[editar]Historia
La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,1 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.
[editar]Etimología
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijoscuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" alpromedio.2 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo delresto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de lamatemática y la estadística mucho más extenso.
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[editar]El modelo de regresión lineal
El modelo lineal relacionala variable dependiente Y con K variables explicativas Xk (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros βk desconocidos:
(2)
donde  es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillode dos variables explicativas, el hiperplano es unarecta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetrosdesconocidos βk, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variabledependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes deregresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5)
Los valores  son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.-------------------------------------------------
[editar]Supuestos del modelo de regresión lineal
Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:3
1. La relación entre las variables es lineal.
2. Los errores son independientes.
3. Los errores tienen varianza constante.
4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero.
5. El...