Regresion lineal

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REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

El propósito de este estudio es proporcionar los conceptos y técnicas para determinar una ecuación que describa de manera razonable a un conjunto de datos dado. Este estudio se denomina análisis de regresión y la ecuación empírica obtenida se denomina ecuación de regresión la cual sustituye a un modelo teórico no disponible

En este primer enfoque se supondrá que setiene un conjunto de n mediciones u observaciones y1, y2, ..., yn de una variable Y denominada variable de respuesta las cuales corresponden a un conjunto x1, x2, ..., xn que representan los valores de una variable X denominada variable de predicción.

Se supondrá que existe una correspondencia de X a Y¸de tal manera que cada valor yi está asociado con un valor xi.

Es importante reconocerque cada valor yi es el resultado de una medición, por lo tanto, es posible que pudiesen haber otros valores yi para el mismo valor dado xi. Esto nos permite reconocer que yi proviene de una variable aleatoria Yi la cual debe tener alguna distribución de probabilidad. Tratemos de visualizarlo en el siguiente gráfico:

[pic]
Supondremos que existe una relación lineal entre X y Y.Este hecho puede reconocerse graficando los puntos (xi, yi), i = 1, 2, ..., n y observando la “tendencia lineal” de los puntos. Esta representación se denomina gráfico de dispersión.

Se propone un modelo lineal que tome en cuenta la aleatoriedad de Y y permita luego explicar los errores de medición.

Modelo probabilista propuesto:

Y = (0 + (1 x + (.
siendo ( el componente aleatorio de Y

Se supondrá que para cada variable aleatoria Yi el componente aleatorio (i tiene la misma distribución de probabilidad y que además son independientes.

(i ( N(0, (2) (distribución normal con media 0 y varianza (2)

Por lo tanto, el valor esperado de este modelo, es una rectateórica (desconocida) con los parámetros (0 y (1 que deben estimarse

E[Y] = (0 + (1 x .

[pic]

RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS

Es un procedimiento matemático para estimar los parámetros (0 y (1 de la recta de regresión utilizando los datos dados.

El objetivo es colocar una recta entre los puntosde tal manera la suma de las distancias de esta recta a los puntos sea la menor posible.

Definición
[pic] .

Es la recta de mínimos cuadrados. [pic] son los estimadores de (0 y (1

[pic]

Para cada valor [pic] se tiene el valor observado [pic] y un valor [pic] obtenido con la recta demínimos cuadrados: [pic]

Sea ei = [pic] - [pic],

Entonces, el criterio de mínimos cuadrados consiste en minimizar [pic] para todos los puntos. El cuadrado puede interpretarse como una manera de cuantificar las distancias. No importa si el punto está sobre o debajo de la recta

Criterio de mínimos cuadrados
Minimizar
SCE = [pic] .

(Lea SCE: “Suma deCuadrados del Error”)

El procedimiento matemático para realizar esta optimización es:

[pic]

Con facilidad se llega al sistema de ecuaciones lineales:

[pic]

De donde se obtienen finalmente los estimadores [pic]

Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de 10 estudiantes que han tomado cierta materia. Los datos incluyen la calificación parcial y lacalificación final. Se pretende encontrar un modelo de regresión que permita predecir la calificación final que obtendría un estudiante dada su calificación parcial.

|Estudiante |Nota Parcial |Nota final |
|1 |39 |65 |
|2 |43 |75 |
|3...
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