Regresion y correlacion

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"Regresión Y CORRELACIÓN"

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6.1.1 Introducción
Regresión es una palabra un tanto rara. La utilizan los biólogos, los médicos, los psicólogos... y suena como "ir hacia atrás", "volver al pasado", y realmente este es verdadero significado del vocablo. Fue un biólogo y estadístico inglés, SIR FRANCIS GALTON*, quien introdujo en 1889 el término regresión en Estadística. Empleó esteconcepto para indicar la relación que existía entre la estatura de los niños de una muestra y la estatura de su padre. Observó, que si los padres son altos, los hijos generalmente también lo son, y si los padres son bajos los hijos son también de menor estatura. Pero ocurría un hecho curioso: cuando el padre es muy alto o muy bajo, aparece una perceptible "regresión" hacia la estatura media de lapoblación, de modo que sus hijos retroceden hacia la media de la que sus padres, por cierto, están muy alejados. Hoy día, el término no se utiliza en ese sentido. En muchas ocasiones, se desea conocer algo acerca de la relación o dependencia entre dos características cuantitativas, o másde una, consideradas sobre la misma población objeto de estudio (por ejemplo la talla y el peso). Hay muchos casosen los que ya de antemano se "sospecha" que puede existir algún tipo de relación, y por consiguiente, se pretende saber por ejemplo, en el caso de que tengamos únicamente dos variables: 1.- Si ambas variables están realmente relacionadas entre sí o si, por el contrario, pueden considerarse independientes. 2.- Si existe dependencia, es necesario conocer el "grado de relación", así como el "tipo"de relación entre ambas. 3.- Si puede predecirse la variable que es considerada como dependiente a partir de los valores de la otra, que es considerada independiente, y si es así, con qué precisión.

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GALTON, F. (1889). Natural Inheritance. London. Mcmillan & Co.

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6.1.2 ¿Cuándo existe regresión?
De una forma general, lo primero que suele hacerse para ver si dos variables aleatoriasestán relacionadas o no (de ahora en adelante las llamaremos X e Y, denotando con Y a la variable dependiente, y X a la variable independiente o regresora), consiste en tomar una muestra aleatoria. Sobre cada individuo de la muestra se analizan las dos características en estudio, de modo que para cada individuo tenemos un para de valores (xi, yi) (i=1,...,n). Seguidamente, representamos dichosvalores en unos ejes cartesianos, dando lugar al diagrama conocido como diagrama de dispersión o nube de puntos. Así, cada individuo vendrá representado por un punto en el gráfico, de coordenadas, xi, yi. De esa forma, podremos obtener una primera idea acerca de la forma y de la dispersión de la nube de puntos. Al dibujar la nube de puntos, podemos encontrarnos, entre otros, los casos a los quehace referencia la figura 6.1. En primer lugar deberemos distinguir entre dependencia funcional y dependencia estocástica. En el primer caso la relación es perfecta: Y=f(X) (ver figura 6.1d y e); es decir, los puntos del diagrama de dispersión correspondiente, aparecen sobre la función Y=f(X). Por ejemplo, el caso de la figura 6.1d sería Y=a+bX. Sin embargo, lo que suele ocurrir es que no existeuna dependencia funcional perfecta, sino otra dependencia o relación menos rigurosa que se denomina dependencia estocástica (figura 6.1b y c); entonces, la relación entre X e Y, podríamos escribirla (en el caso de la figura 6.1.b) de la forma Y=a+bX+e, donde e es un error o un residual, debido por ejemplo, a no incluir variables en el modelo que sean importantes a la hora de explicar elcomportamiento de Y, y cuyos efectos sean diferentes a los de X; errores aleatorios o de medida, o simplemente a que estamos especificando mal el modelo (por ejemplo, que en lugar de ser una recta, sea una parábola).

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Figura 6.1: Tipos de relación entre dos variables X e Y

El caso de la figura 6.1a se corresponde con el de ausencia de relación, o independencia. En la dependencia estocástica, se...