Regresiones geográficamente ponderadas

Modelo de Regresi´n Geograficamente Ponderado GWR o
M´nica Arteaga Sierra o Agosto 17 de 2011
Considere el modelo de regresi´n global como: o yi = β0 +
k

βk xik + i ,

i = 1, . . . , n

El modelo en forma de ecuaciones puede ser escrito como: y1 y2 . . . yn = = = = β0 + β1 x11 + β2 x12 + . . . + βk x1k + β0 + β1 x21 + β2 x22 + . . . + βk x2k + . . . β0 + β1 xn1 + β2 xn2 + . . . + βk xnk+
n 1 2

En forma matricial el modelo global de regresi´n es: o    y1 1 x11 x12 . . .  y2  1 x21 x22 . . .     .  = . ..  .  . . . . yn 1 xn1 xn2 . . . esto es

   x1k β0 x2k  β1      .  .  +  .  .   . . xnk βk

1



 2 . . .
n

Y(n×1) = X(n×k+1) β(k+1×1) +

(n×1)

Las regresiones geograficamente ponderadas, se esxtienden de este marco deregresi´n tradicional, permio tiendo par´metros locales en lugar de los globales, el Modelo GWR se reescribe como: a yi = β0 (ui , vi ) +
k

βk (ui , vi )xik + i i = 1, . . . , n

1

donde (ui , vi ) denota las coordenadas del i-´simo punto en el espacio y βk (ui , vi ) es una (comprensi´n, e o realizaci´n) de la funci´n continua βk (u, v) en el punto i. o o En forma de ecuaciones el modeloGWR es y1 y2 . . . yn = = = β0 (u1 , v1 ) + β1 (u1 , v1 )x11 + β2 (u1 , v1 )x12 + . . . + βk (u1 , v1 )x1k + β0 (u2 , v2 ) + β1 (u2 , v2 )x21 + β2 (u2 , v2 )x22 + . . . + βk (u2 , v2 )x2k + . . .
n 1 2

= β0 (un , vn ) + β1 (un , vn )xn1 + β2 (un , vn )xn2 + . . . + βk (un , vn )xnk +

En forma matricial el modelo GWR es:    y1 (u1 , v1 ) 0 ...  y2   0 (u2 , v2 ) . . .     . = ... .  . . . . 0 0 ... yn esto es Y(n×1) = W(n×n) X(n×k+1) β(k+1×1) +
(n×1)

0 0 . . . (un , vn )

 1  1   .  . . 1

x11 x21 xn1

x12 x22 .. . xn2

... ... ...

   x1k β0 x2k  β1      .  .  +  .  .   . . xnk βk

1



 2 . . .
n

La ecuaci´n del modelo GWR asume impl´ o ıcitamente que los datos observados cerca de la localidad i tienen unamayor influencia en la estimaci´n de la βk (ui, vi)s que los datos ubicados m´s lejos de i. Por o a lo tanto, m´ ınimos cuadrados ponderados proporciona una base para comprender c´mo funciona GWR. En o GWR una observaci´n se pondera de acuerdo con su proximidad a su ubicaci´n i de manera que el peso de o o una observaci´n ya no es constante en la calibraci´n, pues var´ con la i. o o ıa

Y

= = == =

WXβ + Y − WXβ (Y − WXβ) Y − (WXβ) Y −β XW

Ahora 2

=

(Y − β X W )(Y − WXβ)

= Y Y − Y WXβ − β X W Y − β X W WXβ Observemos que Y Sea S =
1×n Wn×n Xn×k+1 βk+1×1

= (Y WXβ) = β X W Y ∈ R S = 0, esto es ∂S =0 ∂β

el objetivo es minimizar S sobre β, bajo la condici´n de primer orden o

∂S ∂β

= = = =

∂ (Y Y − Y WXβ − β X W Y + β X W WXβ) ∂β ∂S (Y Y − 2β X W Y + β X WWXβ) ∂β ∂S ∂S ∂S (Y Y) − 2 (β X W Y) − (β X W WXβ) ∂β ∂β ∂β 0 − 2X W Y + 2X W WXβ

ˆ Sea β el valor que ocptimiza, luego podemos escribir ˆ −2X W Y + 2X W WXβ = ˆ 2X W WXβ = 0 2X W Y

ˆ X W WXβ = X W Y ˆ β = ˆ β = (X W WX)−1 X W Y (X W WX)−1 X WY

donde W (ui , vi ) es una matriz n × n donde los elementos fuera de la diagonal son cero, y cuyos elementos diagonales indican la ponderaci´ngeogr´fica de cada uno de los n datos observados para cada punto i de la o a regresi´n. o Para ver esto m´s claramente, tenga en cuenta la ecuaci´n de regresi´n cl´sica en forma matricial a o o a Y = Xβ + donde el vector de par´metros a estimar, es constante en el espacio y se estimado por a ˆ β = (X X)−1 X Y El modelo GWR equivalente es: 3

Y = (X ⊗ β)1 + Donde ⊗ es un operador de multiplicaci´n en cualcada elemento de β es multiplicado por el correspondio ente elemento de X. Si hay n datos y k variables explicativas, β y X pueden tener dimensiones n × (k + 1) y 1 es un vecto de 1s de (k + 1) × 1, esto es   β0 (u1 , v1 ) y1  y2   β0 (u2 , v2 )     . = . . .  . .  yn β1 (u1 , v1 ) β1 (u2 , v2 ) ... ... .. .   βk (u1 , v1 ) 1 βk (u2 , v2 )  1    ⊗ . . .  . . . βk (un...