Regresión lineal útil

´ FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTAD´ ISTICA

´ UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

523381 Estad´ ıstica para Geolog´ ıa
Clase de Ejercicios N◦ 4 Profesor : Guillermo Ferreira Ayudante : Cristian Ubal 1 Semestre 2011

1.– Se presentan los siguientes datos sobre x % de absorci´n de luz a 5800A e y= cima de fotovoltaje: o x 4.0 8.7 12.7 19.1 21.4 24.6 28.9 29.8 30.5 y 0.120.28 0.55 0.68 0.85 1.02 1.15 1.34 1.29 a Construya una gr´fica de dispersi´n de estos datos. ¿Qu´ sugiere? a o e b Obtenga la ecuaci´n de la recta de regresi´n estimada suponiendo que el modelo de regreo o si´n lineal simple es apropiado. o c ¿Qu´ porporci´n de la variaci´n observada en cima de fotovoltaje se puede explicar por el e o o modelo de regresi´n?. o d Pronostique el tipo de fotovoltajecuando el % de absorci´n sea 19,1 y calcule el valor del o residuo correspondiente. e Se piensa que hay una regresi´n lineal util entre % de absorci´n y cima de fotovoltaje. o ´ o ¿Est´ de acuerdo?. Realice una prueba formal. a

1

Soluci´n o (a). Observando el gr´fico de dispersi´n siguiente se sugiere que hay una asociaci´n lineal entre el a o o % de absorci´n de luz y la cima de fotovoltajeo

q q

1.2

q

1.0

q

q

Fotovoltaje

0.8

q

0.6

q

0.4

q

0.2

q

5

10

15 Absorcion

20

25

30

Figura 1: Gr´fico de dispersi´n a o (b). La ecuaci´n de la recta estimada es la siguiente: o y = β0 + β1 x donde β0 = y − β1 x y β1 =
SCxy , SCx

de los datos se obtienen y = 0,81, x = 19,97

adem´s se obtienen a
9

SCx =
i=1 9

(xi − x)2 =746,4 (yi − y)2 = 1,514
i=1

SCy =
9

SCxy =
i=1

(xi − x)(yi − y) = 33,33

luego, reemplazando tenemos que β0 = −0,083, quedando la ecuaci´n de la recta como sigue o yi = −0,083 + 0,045xi β1 = 0,045

2

q q

1.2

q

1.0

q

q

Fotovoltaje

0.8

q

0.6

q

0.4

q

0.2

q

5

10

15 Absorcion

20

25

30

Figura 2: Gr´fico de dispersi´n a o(c). Lo que se pide corresponde a la definici´n de r2 o r2 =
2 SCxy 33,332 = = 0,9830444 (SCx SCy ) (746,4)(1,514)

Luego, el modelo explica el 98,3 % de variabilidad presente en los datos, lo que se considera muy bueno. Otro valor importante es r = 0,9914859, que nos indica que existe una fuerte relaci´n o lineal positiva entre las variables. (d). El pron´stico cuando el % de absorci´n es de19,1 es: o o y = −0,083 + 0,045 · 19,1 = 0,7701 El residuo ser´ la diferencia entre el verdadero valor observado para x = 19,1 y el calculado por a medio de la recta de estimaci´n o x y y 19.1 0.68 0.7701 luego el residuo es e = 0,68 − 0,7701 = −0,0902 (e). Dado que se pide una verificaci´n para la regresi´n lineal, tenemos que probar si el coeficiente o o β1 es significativo, es decir distinto de cero,por lo tanto la hip´tesis a testear es o H0 : β1 = 0 v/s H1 : β1 = 0 El estadistico de prueba es tc = β1 − 0 s.eβ1

3

Se rechaza H0 si |tc | > t(n−2),1− α . Tenemos que 2 s.e(β1 ) = donde σ 2 = queda
SCE n−2

σ2 SCx

=

0,02614669 7

ˆ = 0,00374, donde SCE = SCy − β1 SCxy , luego el estad´ ıstico tc 0,04465 − 0
0,00374 746,4

tc =

= 19,959

Al comparar tenemos que |tc | =19,959 > t7,1− α = 2,365. Existe suficiente evidencia para 2 rechazar H0 con un 95 % de confianza, es decir, hay una relaci´n lineal util entre el % de o ´ absorci´n de luz y cima de fotovoltaje. o 2.- Dos tipos diferentes de aleaci´n, A y B, se han utilizado para fabricar espec´menes experio e mentales de un peque˜o eslab´n de tensi´n, empleado en cierta aplicaci´n de ingenier´ Se n o o o ıa.determin´ la resistencia m´xima (en ksi) de cada esp´cimen y los resultados se resumen en la o a e siguiente tabla de distribuci´n de frecuencia. o Resistencia Max.(Ksi) 26 - 30 30 - 34 34 - 38 38 - 42 Aleaci´n A Aleaci´n B o o 6 4 12 9 15 19 7 10 40 42

Calcule un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia entre las proporciones reales de todos los espec´menes de aleaciones A y B que tengan...