relacion de ejercicios resueltos tema 1 matematicas para la economia

GRADO EN ECONOMÍA.
MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA y LA
EMPRESA
RELACIÓN BÁSICA DE PROBLEMAS. LECCIÓN 1
(Epígrafes 1-4)

1.- Dada la función f ( x) 

x2
, calcule:
x2

a) La función derivada.
b) La derivada en el punto x = 4.
c) La recta tangente en el punto x = 4.

Solución:
a) Para calcular la función derivada de un cociente de dos funciones aplicamos la derivada
del cociente.f ´(x) 

2 x( x  2)  x 2 x 2  4 x

( x  2) 2
( x  2) 2

como podemos observar, la función derivada de una función es otra función.
Generalmente, y por comodidad del lenguaje, no se dice función derivada, sino sólo
derivada, lo cual puede llevar a error con el concepto de derivada de una función en un
punto, que es sólo un número.
b) Para calcular el valor de la derivada en unpunto, podríamos proceder de dos formas. En
una aplicamos la definición de la derivada, y en la segunda, que es la que realmente
utilizamos en la práctica, se calcula la derivada utilizando las reglas de derivación. Es
decir:

1ª forma:

( 4  h) 2
8
f (4  h)  f (4)
h2
h
f ´(4)  lim
 lim 4  h  2
 lim
 lim
0
h 0
h 0
h 0 h( h  2)
h 0 h  2
h
h

es evidente queesta forma requiere muchos más elementos matemáticos de los que aquí
nos ocupan. Por tanto, a partir de ahora, para calcular la derivada en un punto,
calcularemos la función derivada y sustituiremos en el punto dado, segunda forma que
hemos comentado.
¡OJO! La derivada de una función en un punto es un valor numérico, que nos indica
la variación porcentual de la función en el punto; por tantocuando se habla de
derivada inmediatamente habría que preguntar ¿En que punto?

2ª forma:

x 2  4x
f ´(x) 
 f ´(4)  0
( x  2) 2

c) La obtención de la recta tangente está también relacionada con el cálculo de derivadas,
dado que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta
tangente de la función en dicho punto.
La recta tangente de una función f(x),en un punto dado a es:

y  f ( x)  f ´(a)( x  a)  f (a) para a  4
y  f ´(4)( x  4)  f (4)  y  8

2.- Dada la función:

f ( x)  3x 2  ln x  5x
a)
b)
c)

Obtenga su dominio.
Analice su crecimiento o decrecimiento.
¿Es convexa o cóncava en x  1?

Solución:
a) La función tiene una parte polinómica y otra algorítmica, por lo que existirá siempre que
el argumento delalgoritmo sea estrictamente positivo, es decir,
D f  (0, )  x  R / x  0 .

b) Para analizar el crecimiento de una función necesitamos calcular el signo de su función
derivada primera, si ésta es positiva la función es creciente y si es negativa es decreciente.
Pasemos a ver qué ocurre con nuestro problema:
f ' ( x)  6 x 

1
 5.
x

Veamos ahora en qué puntos se anula estaderivada:

1
6 x   5  0  6 x 2  5x  1  0 
x

5  25  24
x
12

Estos puntos dividen al dominio de f en tres intervalos:

1

 x1  3
 
1
 x2 
2


 1 1 1 1 
 0, ,  , ,  ,   .
 3  3 2  2 

Dando valores en un punto arbitrario de cada intervalo, obtenemos:
1
1 3
f '     4  5   0,
2
4 2

1
 2  12 5
f '      5    0,
105 5 2

f ' (1)  6  1  5  2  0 .

 1 1 
1 1
Por lo tanto, f es creciente en  0,  y  ,   , y es decreciente en  ,  .
 3  2 
3 2

c) Una función es cóncava cuando el signo de su segunda derivada es negativo, y convexa
en caso contrario. Calculemos por tanto la segunda derivada:
f ' ' ( x)  6 

1
.
x2

Como f’’(1) = 5 > 0, entonces f es estrictamenteconvexa en x = 1.

3.- Una empresa produce dos bienes utilizando mano de obra y materia prima en
cantidades x e y, respectivamente. La función de producción viene dada por la siguiente
expresión:

q  q1 , q 2   Ln( x 2  y) , xy 1 / 2 

Sabiendo que la empresa está utilizando 10 unidades de mano de obra y 100 unidades de
materias primas, calcule la matriz jacobiana de la función de...