Relaciones de equivalencia y particiones

Relaciones de Equivalencia
Para llegar a la definición de lo que es una relación de equivalencia, antes, debemos de conocer otros conceptos que son:
Par Ordenado
Un grupo de 2 objetosCualesquiera a los que se les asigna un lugar específico a Cada uno.
Tomando en cuenta que
a,b≠b,a | a≠b
Este concepto se puede aumentar a una Triada Ordenada, hasta una n-ada ordenada.
Producto CartesianoEl producto cartesiano de 2 Conjuntos A y B, denotado por AxB, es el conjunto de pares ordenados (a, b) tales que aЄA y bЄB
AxB= a,ba∈A ^ b∈B}
Si A y B son conjuntos finitos entonces
AxB=A|B|Relación
Sea A y B en U. Una relación de A en B, denotada por R es cualquier subconjunto del Producto Cartesiano AxB. Se puede escribir ARB o bien
xRy | x∈A ^ y∈B
Relación Binaria
Se le llama atoda aquella relación se da en AxA.
Propiedades de las Relaciones Binarias
Para las siguientes propiedades tomar en cuenta que:
R es una Relación Binaria sobre un conjunto A
Reflexividad
R esreflexiva si:
∀x(x∈A→(x,x)∈R)
Simetría
R es Simétrica si:
∀x,y((x,y)∈R→(y,x)∈R)
Transitividad
R es transitiva si:
∀x,y∀y,z((x,y)∈R ^ (y,z)∈R→(x,z)∈R)
Anti Simetría
R es Anti Simétrica si:∀x,y((x,y)∈A ^ (y,x)∈A→x=y)
Relación de Equivalencia
Luego de conocer los conceptos anteriores podemos llegar a definir lo que es una relación de Equivalencia.
Una Relación de Equivalencia es aquellarelación Binaria que tiene simultáneamente las propiedades de que es Reflexiva, Simétrica y Transitiva.
Particiones
Para conocer que es una Partición también se debe de tener ciertos conceptosprevios, estos son:
Clase de Equivalencia
Para una relación binaria de equivalencia sobre un conjunto A, la Clase de equivalencia denotada por [Xi] es:
Xi=YYRXi}
Partición
Sea ACU, Una Partición deA es un conjunto de Índices A1, A2, A3, …, An nЄZ+ tales que
1. i=1nAi=A
2. Ai∩Aj=∅ i≠j
Teorema
Sea una relación de equivalencia sobre un conjunto A.
* induce una...