Relación y Función

Cuadro Comparativo – “Relaciones” (Capitulo 6)

Relación
Función
Definición
Es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en bases de datos, estructuras de datos, redes, autómatas y lenguajes.

Dados dos conjuntos no vacios A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento aesta relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o característica. La relación se indica como aRb:

R={(a, b) | a є A y b є B}
Las funciones son una clase especial de relación y se utilizan prácticamente en todas las aéreas de las matemáticas, en particular en cálculo diferencial e integral, geometría analítica, trigonometría y algebra. En computación las funcionestienen aplicación directa en lenguajes de programación ya que cada uno de estos tiene sus propias librerías de funciones estándar permitiendo al usuario adicionar mas funciones con el objeto de hacerlos mas ricos, fáciles y poderosos en el momento de programar.

Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento b de un conjunto B.
Sean A y B conjuntos novacios. Una función f de A en B se escribe como:

f:A → B
Tipos

Las relaciones deben de cumplir con ciertos requisitos para que sean consideradas como tales, como cada una de ellas tiene sus características propias es posible establecer cierta clasificación.

Relación reflexiva: Una relación es reflexiva cuando todo elemento de un conjunto A esta relacionado consigo mismo, esto es, cuandose cumple que aRa para todo elemento A.
“Si la diagonal principal de la matriz contiene solo unos (1) es reflexiva”.

Relación irreflexiva: Se dice que una relación es irreflexiva cuando ningún elemento del conjunto A esta relacionado consigo mismo ((a,a) є R). En este caso la matriz de la relación deberá contener únicamente ceros (0) en la diagonal. Si la diagonal de la matriz tiene ceros (0) yunos (1), la relación correspondiente no es reflexiva ni irreflexiva.

Relación simétrica: Se dice que una relación R: A → B es simétrica cuando (a, b) є R y (b, a) є R. Si (a, b) esta en la relación pero (b, a) no, entonces la relación no es simétrica.
MR = MR -1

Relación asimétrica: Una relación R de A en B es asimétrica si cuando (a, b) є R entonces (b, a) є R, además de que ningúnelemento deberá estar relacionado consigo mismo; esto significa que la diagonal de la matriz de la relación deberá contener solamente ceros.

Relación antisimétrica: Una relación es antisimetrica cuando no de los pares colocados simétricamente no esta en la relación, lo cual significa que (a, b) є R o bien (b, a) є R. En este caso la diagonal de la matriz no es importante, ya que pueden estar o norelacionados los elementos con ellos mismos.

Relación transitiva: Una relación de A en B tiene la propiedad de ser transitiva si cuando aRb y bRc entonces existe el par aRc.
Una función f: A → B se llama uno a uno (o inyectiva) si a cada elemento distinto del conjunto A le corresponde un elemento distinto del conjunto B, esto es, para todo a, a´ є A si f (a) = f(a)´ implica que a = a´.Función Inyectiva

Una función f: A → B se llama sobre (o suprayectiva) si el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de la función es igual al conjunto B, dicho de otra manera, es sobre si
Cod(f) = B.


Función Suprayectiva

Cuando una función es uno a uno y sobre (o biyectiva), se dice que f tiene una correspondencia uno a uno.


Función Biyectiva
OperacionesComplemento de R: Se indica como R´ y contiene todos aquellos pares ordenados que no forman parte de la relación R. Este conjunto incluye a todos los pares ordenados que están en el producto cartesiano A x B pero que no se encuentre en R cuando el complemento se obtiene por medio de matrices, se deben cambiar todos los unos por ceros y los ceros por unos.

Intersección: Sean R y S relaciones de un...