Relatividad

CONCEPTOS DE RELATIVIDAD
ESPECIAL Y GENERAL
Ing.Ezequiel L´pez M.
o
25 de Octubre de 2002

1.

Sistemas uniformemente acelerados

La relatividad especial se puede utilizar para describir los eventos tal
como son vistos por un observador en un marco de referencia acelerado. Para
este prop´sito se considera que el sistema S se mueve con una part´
o
ıcula de
masa m0 a lo largo del ejex positivo del sistema S . La part´
ıcula se somete a
una fuerza F = m0 g en direcci´n del eje x. La ecuaci´n de movimiento para
o
o
dicha part´
ıcula ser´
a
dpx
= m0 g
dt
d
g
(γm0 β ) = m0 2
dτ
c
g
d (γβ ) = 2 dτ
c

(1)

en donde γ = 1/ 1 − v 2 /c2 , τ = ct y β = v/c corresponde a la velocidad
instant´nea entre S y S . La ultima de las ecs. (1) se puede integrar directaa´
mente. En el primer miembro la variable es la velocidad β , la cual se val´a
u
desde cero hasta un valor β . En el segundo miembro la variable τ se val´a,
u
de igual manera, desde cero a un tiempo τ . Con esto se llega a que (1)
g
τ
c2
g
β
√
= 2τ
2
c
1−β
γβ =

1

(2)

2
κτ

β=

(κτ )2 + 1

Sustituyendo β = dx/dτ en la ecuaci´n anterior e integrando sobre x desde
ouna posici´n x0 hasta x y sobre el tiempo desde cero hasta τ se obtiene
o
κx − κx0 =

1 + (κτ )2 − 1

(3)

lo cual se puede escribir como
κx =

1 + (κτ )2 + κxp

(4)

donde κxp = κx0 − 1 y κ = g/c2 . La ecuaci´n anterior expresa la posici´n
o
o
de la part´
ıcula como funci´n del tiempo en el sistema S . De las ecs. (1) y
o
(4) se puede deducir que las ecuaciones detransformaci´n entre un sistema
o
acelerado y un sistema inercial son
1
1
x =− + x+
coshκτ
κ
κ
τ = (x + 1/κ) sinh κτ
(5)
De estas ecuaciones se puede obtener el tensor m´trico para el sistema acele
erado, el cual es
gµν =

−(1 + κx)2 0
0
1

(6)

con esto, la m´trica se escribe de la forma
e
ds2 = −(1 + κx)2 dτ 2 + dx2

(7)

Es importante observar algunos hechos impl´
ıcitos enesta m´trica. Por ejeme
2
plo, si ds = 0 se tiene que
dx2 = (1 + κx)2 dτ 2
β = 1 + κx

(8)

es decir, que la velocidad de la luz depende ahora de la posici´n. Es m´s,
o
a
cuando x = −1/κ, se tiene que β = 0. El evento en x = −1/κ nunca
ser´ observado porque la luz nunca escapa de all´ justo como en la superficie
a
ı,
de un agujero negro. Estos hechos parecen contradecir los principiosde la
relatividad especial pero en realidad no es as´ puesto que estos principios se
ı,
aplican a observadores en marcos de refencia inercial. Las consecuencias de
la ec.(8) ser´n verificadas para un observador en un marco acelerado, para el
a
cu´l, los principios de la relatividad especial ya no son v´lidos.
a
a

3

2.

Gravedad y relatividad especial

En el desarrollo de larelatividad especial no se asume la presencia de campos gravitacionales. Existen problemas al tratar de introducir la gravedad en
las ecuaciones de la relatividad especial. Por ejemplo, la formulaci´n newtoo
niana de la gravedad sostiene que
d2 xi
∂Φ
=− i
dt2
∂x
2
Φ = 4πGρ

(9)
(10)

En la forma en que est´n, estas ecuaciones no pueden ser introducidas en
a
la relatividad especial. Laec.(9) est´ en forma tridimensional y tendr´ que
a
ıa
2µ
2
ser modificada a una forma cuadridimensional d x /dτ . La ec.(10) no es un
invariante de Lorentz, ya que aparece el operador tridimensional laplaciano
´
en lugar del operador cuadridimensional dAlembertiano. Esto significa que el
potencial Φ responde instant´neamente a cambios en la densidad ρ a largas
a
distancias, es decir, que elcampo newtoniano se propaga con velocidad infinita. Se ha intentado corregir estos problemas proponiendo que el potencial
gravitacional sea un escalar, luego un vector y por ultimo, un tensor sim´trico.
´
e
A pesar de esto, las teor´ desarrolladas tienen limitaciones y no concuerdan
ıas
con las observaciones experimentales. La mejor de las tres es la del tensor
sim´trico, aunque...