Representaciones lineales

En el estudio de los grupos matemáticos, una representación de grupo es una "descripción" de un grupo como grupo concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto matemático. Más formalmente, la "descripción" significa que hay un homomorfismo del grupo a un cierto grupo de automorfismos. Una representación fiel es una en la cuaAlguna gente utiliza realización para estanoción y reserva el término representación para lo qué más abajo se llamará representaciones lineales. La teoría de la representación se divide en subteorías dependiendo de la clase de grupo que es representado. Las diversas teorías son absolutamente diferentes en su detalle, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:
Grupos finitos: lasrepresentaciones de grupo son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También aparecen en ciertas aplicaciones de la teoría de grupos finitos cristalografía y en geometría. El caso especial donde la representación es sobre un cuerpo de característica p y p divide el orden del grupo, llamada teoría de la representación modular, tiene propiedades muy diversas (véase abajo).Grupos topológicos compactos o localmente compactos: muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos son probados haciendo un promedio sobre el grupo. Estas pruebas se pueden transportar a los grupos infinitos si el promedio es substituido por una integral, lo que solamente funciona si podemos definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para los gruposlocalmente compactos, usando la medida de Haar. La teoría que resulta es una parte central del análisis armónico. La dualidad de Pontryagin describe la teoría para los grupos conmutativos, como transformación de Fourier generalizada.
Grupos de Lie: Muchos grupos de Lie importantes son compactos, así que los resultados de la teoría compacta de representación se aplican a ellos. Otras técnicasespecíficas de los grupos de Lie se utilizan también. La mayoría de los grupos importantes en la física y la química son grupos de Lie, y la teoría de representación es crucial para el uso de la teoría de grupos en esos campos. Vea Representaciones de grupos de Lie o de álgebras de Lie.
l este homomorfismo es inyectivoUn conjunto X se dice que soporta una representación conjuntista o representaciónpor permutación de un grupo G si hay una función, ρ de G a XX, el conjunto de las funciones de X a X tales que para g1, g2 en G, y x en X
ρ(g1g2)[x] = ρ(g1)[ρ(g2)[x]].
Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ(g) es una biyección (permutación) para todo g en G. Así podemos equivalentemente definir una representación de permutación como un homomorfismo de grupos de G al gruposimétrico SX de X.
Ver acción de grupo.
Representación lineal
En álgebra abstracta, una representación de un grupo finito G es un homomorfismo de grupos de G en el grupo general lineal GL(n, C) de las matrices complejas invertibles n-por-n. El estudio de tales representaciones se llama teoría de representación.
La teoría de representación es importante porque permite la reducción de algunosproblemas de la teoría de grupos al álgebra lineal, que tiene una teoría muy bien entendida. Hay un análogo de esta teoría para muchas clases importantes de grupos infinitos; vea representaciones de los grupos y de las álgebras de Lie y teorema de Peter-Weyl para los grupos topológicos compactos. Una representación por transformaciones proyectivas (véase representación proyectiva) se puede describircomo representación lineal salvo matrices escalares. Estas representaciones ocurren naturalmente, también.
Podríamos también tener representaciones afines. Por ejemplo, el grupo euclidiano actúa de forma afín sobre el espacio euclidiano
Ejemplo
Considere el número complejo u = exp(2πi/3) que tiene la propiedad u³ = 1. El grupo cíclico C3 = { 1, u, u² } tiene una representación ρ dada por:...