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CAPÍTULO
POTENCIACIÓN

Y RADICACIÓN

6

Reseña

HISTÓRICA

El exponente

E

l primero que colocó el exponente en una
posición elevada con respecto a la línea
base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x 2, lo escribía
como 52.
En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète en la que
utilizó una notaciónprácticamente igual a la actual, salvo que utilizó números romanos. Así, 5x 2 lo escribía como 5x ii.
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Géométrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo,
que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que
siguiese escribiendo, como muchos hasta entonces, x 2 como xx.
El símbolo

y losirracionales

Al parecer fueron los griegos en el siglo V a. de C., los descubridores de
la existencia de números no racionales. Este descubrimiento hizo tambalear
uno de los principios de los pitagóricos, que consistía en considerar que
la esencia de todas las cosas, tanto en la geometría como en los asuntos
teóricos y prácticos del hombre, era explicable en términos de arithmos, es
decir,de propiedades de los números enteros y de sus razones.
Puesto que la existencia de tales números era evidente, los griegos no tuvieron más remedio que aceptarlos con el nombre de irracionales.
De esta manera, el campo de los números se extendió para superar la
incapacidad de los racionales para representar todas las medidas de magnitudes. En el siglo IX, el filósofo árabe al-Farabi generalizóel concepto de
número a los racionales y a los irracionales positivos.
En 1525 el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el signo
que indica la raíz cuadrada de un número. El mismísimo Euler conjeturó
en 1775 que se trataba de una forma estilizada de la letra r, inicial del
término latino radix, “radical”.
Una construcción clásica que tiene que ver con los irracionales es la llamadaespiral de Teodoro, la cual permite obtener las raíces cuadradas de los
números enteros a partir de un triángulo rectángulo isósceles de lado 1.
La espiral de Teodoro es un método para construir geométricamente los segmentos
de longitud 2 , 3 , 4 ,… 17.

85

6

CAPÍTULO
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Potenciación
Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar porella misma las veces que lo indique el
exponente. De lo anterior se define:
⁄

123 donde: a es la base y n el exponente.

−n
⁄a =

1
an

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Desarrolla 52.
Solución
Al ser el exponente 2, la base 5 se debe multiplicar 2 veces ella misma:
5 2 = ( 5 )( 5 ) = 25
Por tanto, el resultado de 5 2 = 25
3

2

⎛ 1⎞
¿Cuál es el resultado de ⎜ ⎟ ?
⎝ 2⎠
SoluciónLa fracción se debe multiplicar 3 veces por ella misma.
3

⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1
⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 8
El resultado es

3

1
8

Desarrolla 3− 4.
Solución
Se aplica la definición y luego se desarrolla 34 para obtener el resultado.
3−4 =
Por consiguiente, 3−4 =

1
1
1
=
=
34 ( 3)( 3)( 3)( 3) 81

1
81

Cuando un número negativo se eleva a una potenciapar, el resultado es positivo, pero si se eleva a una potencia impar,
el resultado es negativo.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es el resultado de (−6 ) ?
4

Solución
La potencia es par, por tanto, el resultado es positivo.

(−6)
86

4

= 6 4 = 1296

CAPÍTULO
ARITMÉTICA • Potenciación y radicación

3

2

⎛ 3⎞
Efectúa ⎜ − ⎟ .
⎝ 4⎠
Solución
El exponente es impar, porconsiguiente, el resultado será negativo.
3

3

27
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎜− ⎟ = − ⎜ ⎟ = −
⎝ 4⎠
⎝ 4⎠
64

3

Desarrolla ( − 4 + 1) .
2

Solución
Se efectúa la operación encerrada en el paréntesis y después se resuelve la potencia para obtener el resultado.

(−4 + 1)

2

= (−3) = 32 = 9
2

EJERCICIO 5 5
Desarrolla las siguientes expresiones:

1. (– 4)2

⎛ 1⎞
8. ⎜ ⎟
⎝ 2⎠

2....