Resistencia de materiales

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

© 2004 V. BADIOLA

1. Principios Básicos de Resistencia de Materiales
1.1. EQUILIBRIO ESTÁTICO
Se define como aquella condición en la cual sometido el cuerpo a una serie de fuerzas y momentos exteriores se mantiene en reposo o con un movimiento uniforme:
F1 F3 M2

F2 M1

∑F = 0 ∑M = 0
1.2. PRINCIPIO DE CORTE

(1)

Si a uncuerpo en equilibrio se le corta por una sección cualquiera sigue estando sometido a las fuerzas y momentos exteriores. Para que siga estando en equilibrio tenemos que colocar en la sección cortada una resultante de fuerzas y una resultante de momentos, que los representaremos como R y M. En dicha sección existen unas tensiones, fuerzas por unidad de área, que dan como resultante R y M. A pesar de quedichas fuerzas son interiores si se considera todo el sistema, son exteriores cuando se aplican sobre el subsistema. El subsistema aislado con las fuerzas exteriores que actúan sobre él y las fuerzas resultantes de la interacción con el sistema total se denomina diagrama de sólido libre.

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DISEÑO DE MÁQUINAS I

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F1 F3
M R

M2

F2 M1
M1

F2

Dentro de cadasección de corte existirán esfuerzos y momentos para compensar los exteriores. Los tipos de solicitaciones que encontraremos serán:

z Mz My T1 T2 N Mx x y

Esfuerzos perpendiculares a la sección N (tracción o compresión) Esfuerzos contenidos en la sección T (cortadura) Momentos
1. En el eje z Mz, flexión 2. En el eje y My, flexión 3. En el eje x Mx, torsión

1.3. CONCEPTO DE TENSIÓNUNITARIA. COMPONENTES DEL ESFUERZO
La barra de la Figura está sometida a un esfuerzo de tracción FN. Si se corta la barra según una sección BB perpendicular a su eje, la resultante de las tensiones que actúan sobre la sección de corte, de área Ac, será igual a FN. Suponiendo una distribución uniforme de FN a lo largo de la superficie, puede introducirse el concepto de fuerza por unidad de superficie,σa, como:

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σa =

FN Ac

(2)

Figura 1 - Barra sometida a esfuerzo de tracción A partir de la ecuación (2), se define el concepto de tensión unitaria:

σ = lim

∆FN dF = N ∆r → 0 ∆A dA c c

(3)

que es el esfuerzo por unidad de área que se ejerce entre las dos partes de uncuerpo, dividido idealmente por un determinado plano BB, a través de una superficie de BB de tamaño infinitesimal, alrededor de un punto. La tensión unitaria se refiere a un punto y a un plano (BB). Como es una fuerza, la tensión unitaria es un vector, por lo que, por regla general, podremos considerar 3 componentes, una normal y dos situadas en el plano - tensión normal y tensiones tangenciales - yse suelen designar σ y τ, respectivamente. Por convenio, la tensión se identificará con dos subíndices: el primero identifica el plano donde está aplicada la tensión (corresponde a la normal a este plano) y el segundo corresponde a la dirección de la tensión (Figura 2).

Figura 2 - Convenio de notación para las tensiones

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La convención clásicaestablece que los esfuerzos normales σ xx , σ yy y σ zz son positivos si están dirigidos hacia el exterior del elemento (tracción). Los esfuerzos cortantes actuantes en caras positivas τ xy , τ yz , τ xz , τ zx , τ yx y τ zy son positivos si se ejercen en la dirección positiva de un eje de referencia. Como el elemento que se presenta está en equilibrio estático, las caras negativas de dichoelemento tendrán esfuerzos cortantes que actúan en la dirección opuesta, pero también se les considera positivos. Por otro lado, planteando el equilibrio de fuerzas en el elemento se deduce la simetría del tensor de tensiones:
τ xy = τyx

τ xz = τ zx
τ zy = τyz

Realicemos la demostración para el caso bidimensional:

Consideremos este elemento en equilibrio estático:

∑M

A

=0

τ xy...