Resolver Por El Método Gráfico

INGENIERIA EN DESARROLLO DE SOFTWARE
UNADM
Materia: INVESTIGACIÓN DE OPERACION
Unidad 1
Actividad 2: SOLUCIÓN A PROBLEMAS: MÉTODO GRÁFICO Y SIMPLEX
Profesora: CINTHYA IVONNE MOTA HERNANDÉZ
Alumno: Sergio Valdez Sánchez

Matricula: AL11510650

Grupo: DB-DIOP-1502S-B1-002

Fecha: 29/07/2015
Actividad 2. Solución a problemas por los Métodos: gráfico y simplex.
Resolver según el métodoindicado:

Resolver por el método gráfico.
Maximizar Z = 5X₁ + 4X ₂
Sujeto a:
3X₁ + 4X₂ ≤ 10
-4X₁ +3X₂ ≤ 6
3X₁ + X₂ ≤ 7
X₁, X₂ ≥ 0
1. Obtenemos el conjunto de soluciones de cada restricción igualando a cero.
Restricción 1:
3X₁ + 4X₂ ≤ 10
3X₁ + 4X₂ = 10
Despejamos X₁ sin tomar en cuenta a X₂
3X₁ = 10 X₁ = X₁ = 3.33
Ahora despejamos X₂
4X₂ = 10 X₂ = X₂ = 2.5Restricción 2:
-4X₁ +3X₂ ≤ 6
-4X₁ +3X₂ = 6
-4X₁ = 6 X₁= 6/-4 = -1.5
3X₂= 6 X₂= 6/3 = 2


3X₁ + X₂ ≤ 7
3X₁ + X₂ = 7
3X₁ = 7 X₁= 7/3 = 2.33
X₂= 7 X₂= 7


Graficamos todos los puntos:


Los valores encontrados son:
A (0, 2)
B ( )
C ( )
D (2.33, 0)
Es necesario buscar por medio de un sistema de ecuaciones los valores de B y C.
Punto B:
3X₁ + 4X₂ = 10
-4X₁ + 3X₂ =6
Multiplicamos por 4 y 3 respectivamente para usar el método de suma y resta:
(3X₁ + 4X₂ = 10) 4 12X₁ + 16X₂ = 40
(-4X₁ + 3X₂ = 6) 3 -12X₁ + 9X₂ = 18
25X₂ = 58 X₂= 58/25= 2.32
Sustituimos el valor encontrado en la igualdad y queda:
3X₁ + 4X₂ = 10
3x₁ + 4(2.32) = 10
3x₁ + 9.28 = 10
3x₁ = 10- 9.28 = 0.72 X₁= 0.72/3 = 0.24

Punto C
3X₁ + 4X₂ = 10
3X₁ + X₂ = 7
Multiplicamos la 1ª.Por -1 para usar el sistema de ecuaciones.
(3X₁ + 4X₂ = 10) -1 -3X₁ - 4X₂ = -10
3X₁ + X₂ = 7
-3X₂ = -3 X₂= -3/-3= 1
Sustituimos el valor encontrado en la igualdad y queda:
3X₁ +4X₂ = 10
3X₁ + 4(1) = 10
3X₁ + 4 = 10
3X₁ = 10-4
3X₁ = 6 X₁= 6/3= 2

Por último sustituimos los valores de A, B C, y d en la Función objetivo y tenemos:
Z= 5X₁ + 4X₂

Solución óptima


Resolver por elmétodo gráfico:
Maximizar Z= X₁ + 2X₂
Sujeto a:
X₁ ≤ 2
X₂ ≤ 2
X₁ + X₂ ≤ 3
Y X₁, X₂ ≥ 0
Graficamos las restricciones igualándolas a ceros y haciendo las operaciones correspondientes y nos queda:
Restricción 1
X₁ ≤ 2
X₁ = 2
Restricción 2
X₂ ≤ 2
Restricción 3
X₁ + X₂ ≤ 3
Ahora graficamos:



El último paso es seleccionar dentro de esa región factible, el punto que maximiza el valorde
Z= X₁ + 2X₂
Para realizarlo intentamos algunos valores por prueba y error, dando como resultado
Como se ve en la siguiente gráfica los valores de X₁ = 2 Y X₂ = 2 son los valores permitidos para la solución y vemos que los valores que maximizan nuestra función objetivo son:
X₁ = 1 y X₂ = 2

Dando los valores a la función objetivo se tiene que:
Z = X₁ + 2X₂ = 1 + 2(2)
1 + 4 = 5
Por lotanto nuestra solución óptima es: X₁ = 1 X₂ = 2









Resolver por el método simplex.
Maximizar Z = - X₁ + X₂ + X₃
Sujeto a:
X₁ + 2X₂ - X₃ ≤ 20
-2X₁ + 4X₂ + 2X₃ ≤ 60
2X₁ + 3X₂ + X₃ ≤ 50
X₁, X₂, X₃ ≥ 0
1. Cambiamos a la forma estándar la función objetivo y agregamos una variable de holgura a las restricciones para igualar cada una.
Z = X₁ - X₂ - X₃
Sujeto a:
X₁ + 2X₂ - X₃ +S₁ = 20
-2X₁ + 4X₂ + 2X₃ + S₂ = 60
2X₁ + 3X₂ + X₃ + S₃ = 50
X₁, X₂, X₃, S₁, S₂, S₃ ≥ 0
Generamos la 1er. Tabla
Variable que entra. Pivote



Variable que sale

Se toma el valor más negativo de la fila Z, en este caso al haber 2 iguales tomamos el de nuestra elección.

Para encontrar la variable que sale se divide la columna solución entre el valor de la columnaelegida, en este caso se eligió X₃:
20/-1 = -20 60/3 = 20 50/1 = 50
Se toma la variable con el valor positivo más pequeño: 20.
Se procede a hacer un eje pivote dividiendo la fila (variable) que sale entre el pivote:
-2/3 = -0.66 4/3 = 1.33 3/3 = 1 0/3= 0 1/3= 0.33 0/3=0 60/3= 20










El paso siguiente es hacer ceros los demás valores de la columna de entrada.
S₁...