Resonancia

Ecuación diferencial del oscilador forzado

Las pérdidas en la energía de un oscilador amortiguado se compensan mediante una fuerza externa periódica.

Consideremos un osciladoramortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad y, además sujeto a una fuerza periódica .
La ecuación diferencial que gobierna el oscilador es:

aplicando la segunda ley de Newton y expresando laaceleración y velocidad como las derivadas segunda y primera respectivamente.


o en la forma más habitual:

Soluciones de la ecuación diferencial

Resolver la ecuación diferencialanterior se sale de los objetivos del presente curso.

Podemos justificar sin embargo que desde el punto de vista físico parece lógico que al cabo de un tiempo suficientemente grande el movimientoresultante sea oscilatorio con una frecuencia igual a la de la fuerza aplicada. Y así sucede, la solución tiene dos términos: uno amortiguado (solución de la ecuación homogénea- igualada a cero-), que seanula con el tiempo y otro al que se denomina solución particular y cuya frecuencia coincide con la de la fuerza aplicada.

Tomemos pues como solución particular la siguiente expresión:

Lasolución pasará por un estado transitorio hasta que para un tiempo suficientemente grande la solución será x=xp (estado estacionario)

si t se hace muy grande, la solución x tiende aSustituyendo la solución en la ecuación diferencial podemos obtener después de algunas operaciones para la amplitud y la fase las siguientes expresiones:

La amplitud y la fase expresadas puedenexpresarse también en la siguiente forma:

Se observa:

· Solución oscilatoria armónica con el mismo periodo de la fuerza

· La amplitud y la fase dependen de:


Proximidad entre wf y wo

Valorde la fuerza aplicada F0

Características del oscilador amortiguado K y l


· La amplitud presenta un máximo cuando:

[2]

que obtenemos al hacer mínimo el denominador de la ecuación....