RESPUESTA DE SISTEMAS

RESPUESTA DE SISTEMAS
Tema 3

22/11/2005

Ingenieria de Sistemas. J. Fdez de
Cañete 2005

Indice
z
z
z
z
z
z
z
z
z

Respuesta Temporal de Sistemas
Análisis de la Respuesta Transitoria
Sistemas de Primer Orden
Sistemas de Segundo Orden
Sistemas de Orden Superior
Identificación de Sistemas
Lugar de las Raíces
Estabilidad
Análisis de la Respuesta Permanente

22/11/2005

Ingenieria de Sistemas. J.Fdez de
Cañete 2005

Respuesta Temporal de Sistemas
z

Sistema continuo representado por la ecuación diferencial con
salida y(t) y entrada u(t)

a n y n ) + a n −1 y n−1) +L+ a 1 y'+ a 0 y =b m u m) +L+b 1 u'+b 0 u
n −1)
con un conjunto de cond. iniciales y( 0), y'( 0),K , y ( 0) siendo n
el orden del sistema.

z

La obtencion de la respuesta del sistema y(t) ante entrada u(t) se
realiza poraplicación de la L
a n ( s n Y ( s) − s n −1 y (0) − s n − 2 y '(0) −L ) + a n −1 ( s n −1Y ( s) − s n − 2 y (0) −L ) +L+ a 0Y ( s) =
b m ( s mU ( s) − s m−1u(0) −L ) +b m−1 ( s m−1U ( s) − s m− 2 u(0) −L ) +L+b0U ( s)

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Respuesta Temporal de Sistemas
z

Reagrupando términos

( a n s n + a n −1s n −1 +L+ a1s + a 0 )Y ( s) = (bm s m +L+b1 s +b0 )U ( s) + P( s)
z

Con P(s) polinomio que depende de las cond. Iniciales

z

La transformada de la respuesta Y(s) de un sistema continuo se
puede expresar

bm s m +L+b1 s + b0
P ( s)
Y ( s) =
U
(
s
)
+
= Y1 ( s) + Y2 ( s)
a n s n + a n −1 s n −1 +L+ a1 s + a 0
a n s n + a n −1 s n −1 +L+ a1 s + a 0
z

Y1(s) es la respuesta forzada y Y2(s) es la respuesta natural

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Respuesta Temporal de Sistemas
z

Ambas respuestas vienen definidas por dos regímenes en el
tiempo, transitorio y permanente.

z

Se analizará la respuesta transitoria ante sistemas de diferente
orden ante entradas características, asi como el error
permanente ante sistemas de diferente tipo.

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Análisis de laRespuesta Transitoria
z

Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para
sistemas de orden 1, 2 y superior.

z

Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo
respuesta natural nula,

Y ( s ) = G ( s )U ( s )

U(s)
X

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G (s )

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Y(s)

Sistemas de Primer Orden
z

Sistema de primer orden (SPO) queda descrito por
unaecuación diferencial
y ' (t ) + a0 y (t ) = b0u (t )

z

con función de transferencia
b0
G (s) =
s + a0
La respuesta escalón de amplitud A será
b0 A
Y ( s) =
s( s + a 0 )

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Sistemas de Primer Orden
z

Descomponiendo en fracciones simples
K1
K2
b0 A 1 b0 A 1
Y ( s) =
+
=
−
s
s + a0
a0 s a0 s + a0

z

Aplicando la transformada inversa
b0 Ay (t ) =
(1 − e − a0t )ue (t )
a0

respuesta de tipo exponencial para a0>0
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Sistemas de Primer Orden

z

K=

b0
a0

Se definen la ganancia
como parámetros especificos de un SPO.
z Forma estandar de SPO
b0 1
k
G ( s) =
=
s
a0
+ 1 τs + 1
a0
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1

, la constante de tiempo τ = a
0

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Cañete 2005Sistemas de Primer Orden
z

La respuesta impulso será

K
Y (s) =
τs + 1
y aplicando transformada inversa

y (t ) =

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K

τ

e −t /τ ue (t )

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Sistemas de Segundo Orden
z

Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por
una ecuación diferencial

y ''+ a1 y '+ a 0 y = b0 u
con función de transferencia
G (s) =
z

b0
s 2 + a1s + a0

La respuestaescalón de amplitud A será
b0 A
Y (s) =
s ( s 2 + a1s + a0 )

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Sistemas de Segundo Orden
z

La respuesta depende de las raices del denominador

s ( s 2 + a1s + a0 ) = s ( s + s1 )( s + s2 )
z

Caso 1: Raices reales distintas

K1
K2
K3
+
+
Y ( s) =
s s + s1 s + s2
z

Aplicando la L-1

y (t ) = ( K1 + K 2 e − s1t + K 3e − s2t )ue (t )
z...