Resumen Calculo Mate022

Coordinación de Matemática II (MAT022)
Segundo semestre de 2010
Semana 1: Lunes 09 – viernes 13 de agosto

CÁLCULO
Contenidos

• Clase 1: La diferencial y sus propiedades.
• Clase 2: Antiderivadas, Propiedades de las antiderivadas.

CLASE 1
1.1

La diferencial y linealización

Si una función es diferenciable en x = a entonces el límite
lim

x →a

f (x ) − f (a )
= f (a )
x −a

existe, esto nosdice que para valores de x cercanos a a
f (x ) − f (a )
≈ f (a )
x −a
de esta forma podemos decir que para x cercanos a a se cumple
f (x ) ≈ f (a ) + f (a ) (x − a )
Esta observación sugiere una forma de estimar el cambio en los valores de salida que produce una función cuando los
valores de entrada varían muy poco, este estimativo depende de la derivada de f e introduce el concepto de diferencial.1.1.1

La diferencial

Considere el punto P = a , f (a ) sobre la gráfica de una función diferenciable f (x ). La recta tangente al gráfico de f en el
punto P esta dada por
y = f (a ) + f (a ) (x − a )

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

como f (a ) y f (a ) son constantes la función p (x ) = f (a ) + f (a ) (x − a ) es un polinomio de grado ≤ 1.
Considere unpequeño número ∆x y como entrada a + ∆x (que entonces esta cercano a a ) entonces
p (a + ∆x )

=

f (a ) + f (a ) (a + ∆x − a )

=

f (a ) + f (a ) ∆x

el cambio en f es por definición
∆ f ≡ f (a + ∆x ) − f (a )
entonces
f (a + ∆x ) = f (a ) + ∆f
Observación 1.1. Representar gráficamente las cantidades anteriores para una mejor comprensión.

Ejemplo 1.1. Calcular f (a + ∆x ) y p (a + ∆x ) cuando f(x ) = x 3 , a = 1, ∆x = 0.1
Como a + ∆x = 1.1 se sigue
f (1.1) = (1.1)3 = 1.331
y
p (1.1)

=

f (1) + f (1) (0.1)

=

1 + 3 (0.1)

=

1.3

notar que p (a + ∆x ) da una buena aproximación de f (a + ∆x ).
Las cantidades p (a + ∆x ) = f (a ) + f (a ) ∆x y f (a + ∆x ) = f (a ) + ∆ f son parecidas si y solo si f (a ) ∆x y ∆f son
parecidas. La expresión f (a ) ∆x es llamada diferencial y como veremos esuna aproximación de ∆f .
Definición 1.1. Sean y = f (x ) una función diferenciable y a un número en el dominio de f . Llamaremos la diferencial de
f en a a la cantidad f (a ) ∆x . esta será denotada por d f o d y .

Observación 1.2. En la definición de diferencial hay dos variables independientes a y ∆x .
Mostremos que d f es en efecto una aproximación de ∆f .
Error de aproximación

=

∆f − d f=

f (a + ∆x ) − f (a ) − f (a ) ∆x
f (a + ∆x ) − f (a )
− f (a ) ∆x
∆x

=
si ∆x → 0 entonces

f (a + ∆x ) − f (a )
− f (a ) → 0
∆x

se sigue que el error en la aproximación tiende a cero.
Es frecuente utilizar x en lugar de a en la definición de diferencial, de esta forma se escribe
d f = f (x ) ∆x
donde x y ∆x son independientes.

MAT022 (Cálculo)

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Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática

Note que si se conoce una expresión para la derivada de inmediato conocemos una expresión para la diferencial
d x3

=

3x 2 ∆x

d (tan x )

=

sec2 x ∆x

d (x )

=

∆x

por la última expresión se acostumbra escribir d x = ∆x y la diferencial de f se escribe
d f = f (x ) d x
o
d y = f (x ) d x
note que los símbolos d y y d x tienen un significado propio y tiene sentidodividir por d x de aquí surge la notación
dy
= f (x )
dx
para las derivadas en donde estamos viendo d y /d x efectivamente como un cuociente de diferenciales.
Teorema 1.1. Sean f y g funciones diferenciables entonces
1. d f + g = d f + d g
2. Si α ∈

entonces d αf = αd f

3. d f g = d f g + f d g
4. d

f
g

=

(d f ) g − f (d g )
g2

5. d f ◦ g = f

g dg

Definición 1.2. La expresión p (x ) = f (a )+ f (a ) (x − a ) es llamada linealización de f (x ) en a y representa la mejor
aproximación mediante una recta que se puede hacer para f cerca de a .

Ejemplo 1.2. Encontrar la linealización de f (x ) = tan x en x = π4 .
Como f

π
4

=1y f

π
4

= sec2

π
4

= 2 se tiene que la linealización es y = 1 + 2 x − π4

3

Ejemplo 1.3. Aproximar el valor de 29
Utilizando la función f (x ) = 3 x , a =...