Resumen Cálculo de Varias Variables

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO


FACULTAD DE QUÍMICA



APUNTES DE CÁLCULO AVANZADO










2º SEMESTRE




ELABORARON:

*0 M. en I. SANDRA LUZ MARTÍNEZ VARGAS
*1 M. en C. JOSÉ FRANCISCO BARRERA PICHARDO





APROBADO

Área de docencia de física - matemáticas



Octubre 2011
Programa


Unidad I
Geometría en el Espacio


Unidad IICálculo Diferencial de varias Variables


Unidad III
Integrales Múltiples


Unidad IV
Cálculo Integral Vectorial
Unidad I
“Geometría en el Espacio”


Tema I “Introducción”

1.1. Función Lineal

Una función Lineal esta determinada por F=(x,y) / y= ax +bdonde xR . Su gráfica es una línea recta, y esta determinada por 2 puntos (0,b) y (-b/a, 0).F=(x,y) / x= a F=(x,y) / y= by

Pendiente de una recta:

La inclinación de una recta respecto al eje X (horizontal).

Para 2 puntos P1 y P2 de coordenadas ( x1, y1 ) y ( x2, y2 )
respectivamente y con x1  x2




es la pendiente de la recta que pasa por P1 y P2.

Para y = b el valor de la pendiente es cero.
Para x = a el valor de la pendiente noexiste.

La ecuación punto pendiente es

y - y1 = m (x - x1).

Ejemplo No. 1. Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por (3, -1) y de pendiente 2; graficar La función
y - y1 = m ( x - x1 )
y - (-1) = 2 ( x -3 )
y + 1 = 2x - 5
2x - y - 7 = 0

x = 0 y = -7 ( 0,-7 )
y = 0 x = 7/2 ( 3.5, 0 )



Ejemplo No. 2. Graficar la función lineal (x,y) / y = x + 3 y obtenga supendiente
y = x + 3
x = 0 y =3 ( 0, 3 )
y = 0 x = -4 ( -3,0 )





Tema II: Parábola

Es el lugar geométrico de un punto que de mueve en un plano de tal manera que sus distancias de una recta fija, situada en el plano es igual a la distancia de un punto fijo del plano




Ecuación Ordinaria











Ecuación General:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A=0 el eje es paraleloal eje x
Si C = 0 el eje de la parábola es paralelo al eje Y


Ejemplo No. 3 Demostrar que 4x2 – 20x – 24y + 49 = 0 representa una parábola, hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto; graf. la función.
4x2 – 20x – 24y + 97 = 0
CTCP para el termino cuadrático
4x2 – 20x = -97 + 24y
x2 – 5x = -97/4 + 6y
x2-5x+(5/2)2 =-97/4 + 25/4 + 64
(x-5/2)2 = -72/4 + 64
(x-5/2)2 = -18+64
(x-5/2)2 = 6 (y-3)
v: (5/2, 3) = (2.5, 3)
F: (5/2,3+3/2) = (5/2, 9/2) = (2.5, 4.5)
4p = 6  p=6/4, p=3/2
ecuación de la directriz
y=3 – (3/2) = 3/2 = 1.5
long. Lado recto: 4p = 6


1.3 Elipse

Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (los focos) esconstante.
















Ecuación ordinaria




centro. (h, k)
eje mayor  al eje X a >b eje mayor  al eje Y
Long del eje mayor : 2a
Long del eje menor: 2b b2=a2 - c2
Long de cada lado recta : 2b2/a
Excentricidad: e=c/a es la razón de “c” o “a”
Ecuación general: Ax2+Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo No. 4: Estudiar y trazar la gráfica de la ecuación
16x2+ 9y2 + 64x – 18y – 71 =0
Solución:
16x2 + 9y2 + 64x – 18y – 71 = 0
16(x2+4x) + 9(y2-2y) – 71 = 0
16(x2+4x+4) + 9(y2-2y+1) – 71 – 64 – 9 = 0
16(x+2)2 + 9(y-1)2 – 144 = 0
16(x+2)2 + 9(y-1)2 = 144
(x+2)2/9 + (y-1)2/16 = 1
a= 4 b=3
c2 0 a2 – b2 = 16 –9 = 7
c=7 c = (-2, 1)
e = 7/4 Long del eje mayor: 16
A = (1, 1) ; A’ = (-5, 1) Long del eje menor. 9


1.4 Hipérbola.
Es ellugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos del plano, llamados focos es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos


















Ecuación ordinaria

(x-h)2/a2 – (y-k)2/b2 eje focal  al aje X
(y-k)2/a2 – (x-h)2/b2 eje focal  al...