Resumen de libros de calculo

Libro de cálculo Larson/Hostetler/ Edwards
PLANO CARTESIANO
Así como podemos representar los números reales como puntos en la recta real, podemos asociar puntos del plano a los pares ordenados de números reales.
Un par ordenado (X, Y). El modelo para su representación se llama sistema coordenado rectangular o plano cartesiano, tiene dos rectas perpendiculares. (Horizontal x y vertical y).
Sedividen en cuatro partes llamados cuadrantes y se enumeran en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Podemos representar los números reales, se puede asociar del plano a los pares ordenados números reales. Un par ordenado (x, y) de números reales tiene x como primer elemento e y como segundo. El modelo para su representación se llama sistema coordenado rectangular o plano cartesiano.Su punto de intersección es el origen y esas rectas dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes.
Cada punto del plano por un par ordenado (x, y) de números reales llamadas coordenadas del punto. El numero x representa la distancia dirigida desde el eje y al punto, y el numero y al distancia desde el eje x al punto. El primero se llama coordenada “x” o “abscisas” y el segundo coordenada‘y” u “ordenada”.
Formula de distancia y del punto medio
Según el teorema de Pitágoras, para un triangulo rectángulo de hipotenusa “a” y catetos “b, c” se tiene a2+b2=c2 . Recíprocamente si a2+b2=c2, entonces el triangulo es rectángulo.
La fórmula del punto medio de un segmento de recta en el plano es similar a la de un segmento de la recta real.
Círculos
Una aplicación directa de laformula de la distancia permite definir los círculos del plano.
Definición de un circulo en el plano: sea (h, k) un punto del plano y sea r>0. El conjunto de los puntos (x, y) cuya distancia al punto (h, k) es r se llama circulo de centro (h, k) y radio r.
Ecuación canónica del círculo
El punto (x, y) está en el circulo de radio r y centro (h, k) si y solo si (x-h)² + (y-k)²=r²
Se siguedel teorema que la forma canónica de la ecuación de un circulo centrado en el origen (h, k) (0, 0) es x² + y²=r².
Si r=1, la grafica de esa ecuación se llama circulo unidad. Efectuando los cuadros y simplificando, la ecuación (x- h)² + (y- k)²=r² se convierte en la forma general de la ecuación de un circulo.
En los tiempos en que nació la geometría analítica de la mano de Pierre de Fermat(1601-1655) y rené descartes (1596-1650), las dos grandes ramas de la matemática, algebra y geometría eran independientes entre sí. Los círculos pertenecían a la geometría, las ecuaciones de algebra, lo que hoy llamamos geometría analítica.
Formulas de distancia y punto medio
Según el teorema de Pitágoras para un triangulo rectángulo de hipotenusa a y catetos b y c se tiene a2+b2=c2 recíprocamentesi a2+b2=c2 entonces el triangulo es rectángulo.
Supongamos que queremos hallar la distancia d entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2) del plano, formando entre ellos un triangulo rectángulo.


GRAFICA DE ECUACIONES
Consideramos la ecuación 3x+y=7. El punto (2, 1) es un punto solución de la ecuación por que la ecuación se verifica al sustituir x por 2 e y por 1.
Entonces elaboramos una tablade valores sustituyendo diversos valores de x, y=7-3x.
En la tabla se ve que (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, -2), (4, -5) son soluciones de la ecuación original 3x+y=7.
El conjunto de todos los puntos solución es la grafica.
Intersección de un grafica con los ejes a
Dos tipos de puntos solución especialmente útiles son los que tiene nula su coordenada x o y. Tales puntos se llamanintersección con los ejes. El punto (a, o) es una x- intersección de la grafica de una ecuación si es un punto solución de dicha ecuación. Para hallar la x- intersección de una grafica, hay que dar a y el valor cero y resolver la ecuación resultante para x. El punto (o, b), es una y-intersección de la grafica.
Simetrías de una grafica
Los tres tipos siguientes de simetrías se pueden usar a la hora de...