Resumen Sobre Congruencia De Triángulos

RESUMEN: COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

En general, dos figuras son congruentes cuando tienen la mima forma y el mismo tamaño, pudiendo cambiar sólo la orientación.
En el caso de los segmentos de recta, dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud o medida. De manera análoga, dos ángulos son congruentes si tienen la misma magnitud.
Fig. 1: Segmentos congruentesFig. 2: Ángulos congruentes



El concepto de congruencia de triángulos es muy importante dentro de la geometría euclidiana.

Criterios de congruencia de triángulos
Deducimos los trescriterios de congruencia de lados:

Criterio 1 (LLL) | Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos son iguales | a a’

b c c’ b’ |
Criterio 2 (LAL) | Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados homólogos iguales y el ángulo comprendido igual. | a a’ bc c’ b’ |
Criterio 3 (ALA) | Dos triángulos son congruentes si tienen un lado homólogo igual y los ángulos adyacentes iguales. | a a’b C c’ b’ |

A continuación resolveremos algunos ejemplos sobre la aplicación de los criterios de congruencia.

Decimos que lostriángulos ABC y A’B’C’ son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Para establecer la correspondencia entre ángulos, es necesario recordar que, en un triángulo, a mayor lado se opone mayor lado y viceversa.
Para establecer la correspondencia entre lados, los relacionaremos de la siguiente manera:
Lado mayor (AB) con lado mayor (A’B’) y tenemos que AB =A’B’
Lado menor (BC) con lado menor (B´C´) y tenemos que BC = B’C’
Lado medio (AC) con Lado medio (A’C’), y tenemos que AC = A’C’
Además, A= A’, B= B’ y C= C’

Para expresar que dos triángulos son congruentes utilizaremos la notación:
ABC ~ A’B’C’, donde el símbolo ~ se debe leer “congruente con” y una notación como
ABC ~ A’B’C’ debeleerse “el ángulo ABC es congruente con el ángulo A’B’C’”, y debe entenderse que la amplitud del ángulo ABC es igual a ña del ángulo A’B’C’.
A los lados correspondientes de dos triángulos congruentes les llamaremos lados homólogos.
Parejas de triángulos congruentes

Los triángulos I y V son congruentes porque sus tres lados homólogos son congruentes. Lo mismo ocurre con los triángulos VIII y XII.Los triángulos II y IV son congruentes por tener dos lados homólogos congruentes e igual el ángulo comprendido.
Los triángulos III y X son congruentes por tener un lado homólogo congruente y los águalos adyacentes correspondientes iguales. La misma razón se aplica a los triángulos VII y IX.
En los triángulos VI y XI no puede establecerse la congruencia, pues aunque sus ángulos correspondientesson iguales, no tenemos información de sus lados, lo que imposibilita una determinación.
* Utiliza los criterios de congruencia de triángulos para verificar que las diagonales de un paralelogramo lo dividen en dos triángulos congruentes:
Sea un paralelogramo ABCD. Consideremos la diagonal AC que lo divide en los triángulos I y II.

Puesto que los lados AB y CD son iguales, AD y BC tambiénson iguales, y AC es común a ambos triángulos, por el primer criterio de congruencia (LLL), los triángulos ADC y ABC son congruentes.

* Verifica que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente:
Sea ABCD un paralelogramo y AC y BD sus diagonales.
Los triángulos AEB y DEC son congruentes y de ahí concluiremos lo que se pide.
Los lados AB y DC son paralelos y AC una secante,...