Reticulos

Capítulo 3

Conjuntos ordenados. Retículos y
álgebras de Boole.
3.1.

Conjuntos ordenados.

Definición 32. Sea X un conjunto, y ≤ una relación binaria en X . Se dice que ≤ es una relación de
orden si se verifican las siguientes propiedades:
Reflexiva x ≤ x para todo x ∈ X .
Antisimétrica Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y .
Transitiva Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z .
Si X es un conjuntoen el que tenemos definida una relación de orden ≤, se dice que (X, ≤) es un
conjunto ordenado (o, si está claro cual es la relación ≤ se dice simplemente que X es un conjunto
ordenado).
Si ≤ es una relación de orden en X que satisface la propiedad adicional de que dados x, y ∈ X
entonces x ≤ y ó y ≤ x, se dice entonces que ≤ es una relación de orden total, y que (X, ≤) (o X ) es
un conjuntototalmente ordenado (en ocasiones, para destacar que (X, ≤) es una relación de orden, pero
que no es total se dice que ≤ es una relación de orden parcial y que (X, ≤) es un conjunto parcialmente
ordenado).

Ejemplo 3.1.1.
1. El conjunto de los números naturales, con el orden natural (m ≤ n si existe k ∈ N tal que n = m + k )
es un conjunto totalmente ordenado. De la misma forma, también lo son(Z, ≤), (Q, ≤) y (R, ≤).
2. Dado un conjunto X , entonces P (X ), con el orden dado por la inclusión es un conjunto ordenado.
Si X tiene más de un elemento, este orden no es total, pues dados x, y ∈ X distintos se tiene que
{x} ⊆ {y } y {y } ⊆ {x}.
3. En el conjunto de los números naturales, la relación de divisibilidad es una relación de orden que
no es total. Sin embargo, en el conjunto delos números enteros esta relación no es de orden pues
no es antisimétrica, ya que 2| − 2, −2|2 y sin embargo 2 = −2.
4. Para cualquier número natural n consideramos el conjunto
D(n) = {m ∈ N : m|n}
Entonces (D(n), |) es un conjunto (parcialmente) ordenado.
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CONJUNTOS ORDENADOS. RETÍCULOS Y ÁLGEBRAS DE BOOLE
5. Sea (X, ≤) es un conjunto ordenado, e Y un subconjunto de X .Definimos en Y el orden x
y
si x ≤ y (vistos como elementos de X ). Entonces, (Y, ) es un conjunto ordenado. De ahora en
adelante, el orden en Y lo denotaremos igual que en X .
Si (X, ≤) es un conjunto totalmente ordenado, entonces, para cualquier Y ⊆ X se tiene que (Y, ≤)
es un conjunto totalmente ordenado.

La definición de conjunto ordenado puede hacerse también a partir de la noción de ordenestricto.

Definición 33. Sea X un conjunto, y < una relación binaria en X . Se dice que < es un orden estricto
si se verifican las siguientes propiedades:
Antirreflexiva Para cualquier x ∈ X se tiene que x < x.
Transitiva Si x < y e y < z entonces x < z .

Es fácil comprobar que si ≤ es una relación de orden en un conjunto X , entonces si definimos
x < y si x ≤ y y x = y
se tiene que < es unarelación de orden estricto en X .
De la misma forma, si < es una relación de orden estricto en X entonces la relación siguiente:
x ≤ y si x < y o x = y
es una relación de orden en X .
Vemos entonces que los conceptos de relación de orden y relación de orden estricto son equivalentes,
pues dada una relación de orden tenemos determinada una relación de orden estricto y viceversa. Además,
loscaminos para pasar de orden a orden estricto, y de orden estricto a orden, son uno el inverso del otro.
A continuación vamos a construir un grafo (dirigido) asociado a una relación de orden. Aún cuando
los grafos serán estudiados con posterioridad, la representación de una relación de orden mediante este
grafo ayuda a visualizar mejor el orden dado.

Definición 34. El diagrama de Hasse de unconjunto ordenado (X, ≤) es un grafo dirigido cuyos vértices
son los elementos de X , y existe un lado de x a y si x < y y no existe z tal que x < z < y .

El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado está definido para cualquier conjunto ordenado. Sin
embargo, en general dicho diagrama no permite recuperar el orden. Por ejemplo, en el caso del conjunto
(R, ≤), dado cualquier x ∈ R no existe...