Rieman

PRÁCTICA

INTEGRACIÓN

Prácticas Matlab
Práctica 12: Integración

Objetivos o o o o Calcular integrales definidas de forma aproximada, utilizando sumas de Riemann. Profundizar en la comprensión del concepto de integración. Manejar los recursos de Matlab para el cálculo de primitivas y para el cálculo aproximado y exacto de integrales definidas. Dibujar regiones del plano, como ayuda parael planteamiento de integrales.

Comandos de Matlab int Calcula de manera simbólica la integral de la función f

Ejemplo:
syms x int(x^2/(x^6-8))

rsums Aproxima la integral de f mediante sumas de Riemann y realiza una representación gráfica de los rectángulos.

Ejemplo:
syms x rsums exp(-x^2)

quad Utiliza el método de cuadratura adaptativa de Simpson para calcular la integralnumérica.
quad(‘funcion’,a,b) Utiliza como tolerancia 1.e-6 quad(‘funcion’,a,b,tol) aproxima la itnegral de la función entre a y b tomando como tolerancia tol

Ejemplo:
f=inline('exp(x.^2)'); quad(f,0,1)

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MATLAB: INTEGRACIÓN

trapz(X,Y) Utiliza la regla trapezoidal para calcular la integral de una función trapz(X,Y) aproxima el valor de la integral de Y con respecto a X.

Ejemplo:X=0:0.001:1; Y=exp(X.^2); trapz(X,Y)

Ejercicios resueltos

Cálculo de primitivas de una función

1
Solución

Calcular: (a) ∫ sen ( ax ) cos ( bx ) dx (b) (c)

∫ cos ( log x ) dx ∫ e dx
− x2

(a) Código Matlab
syms a b x f=sin(a*x)*cos(b*x); integral=diff(f,x); pretty(integral)

Nota: La integral es un proceso difícil y puede suceder que Matlab no encuentre la primitiva de unafunción. En estos casos devuelve un mensaje del tipo “Explicit integral could not be found” como es el caso de la integral del apartado (b).

Definición de integral definida: Sumas de Riemann

TEORÍA.- Si f es creciente en

[ a, b] , las sumas superior

2

e inferior de Riemann para una partición regular son, respectivamente:

b−a  b−a f a +i  n n   i =1 n b−a  b−a s ( f , Pn ) = ∑f  a + (i − 1)  n n   i =1 S ( f , Pn ) = ∑
n

Si f fuera decreciente las sumas son justo las contrarias.

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(a)

Considerar la función f ( x ) = e− x . Dibujar su gráfica en el intervalo [0, 1]. Calcular la expresión de la suma de Riemann superior resultado de dividir el intervalo [0,1] en 10 subintervalos iguales. Escribir después el código matlabpara obtener su valor. Dibujar los rectángulos cuyo área se corresponde con la suma de Riemann del apartado anterior. Crear para ello una función externa que dependa de la función, los extremos del intervalo y el número de rectángulos. Aproximar el valor de la integral
−x ∫ e dx mediante la suma
2

2

(b)

(c)

1

(d)

0

superior de Riemann obtenida dividiendo el intervalo [ 0,1] en10 subintervalos iguales.

Solución (a) Comandos Matlab
x=0:.05:1; y=exp(-x.^2); plot(x,y,'r','LineWidth',2) hold on area(x,y)

(b) La suma de Riemann será

∫e
0

1

− x2

dx ≈ ∑
i =1

10

1   2 −  ∆x = 10  1 10 − i101       f (ci )∆x =   = ∑e i − 1  10 i =1 c =  i 10   

Comandos matlab
%De forma simbólica syms nS=symsum((1/10)*exp(-(n-1)^2/100),n,1,10); Suma=double(S); %De forma numérica m=1:10; am=(1/10)*exp(-(m-1).^2/100); S=sum(am)

(c) Para no complicar el código se considerará que la función f ( x) es positiva en el intervalo [a, b]. El siguiente código se incluirá en un fichero de nombre dibujorectangulos.m

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MATLAB: INTEGRACIÓN

function dibujorectangulos(f,a,b,n) dx=(b-a)/n; for i=1:n c=a+(i-1)*dx; h=subs(f,c); %Creaun rectángulo con un vértice en el punto (c,o) de %ancho dx y de alto h if h>0 rectangle('position',[c 0 dx h],'FaceColor',[1 0.9 0.8]) end end hold on ezplot(f,a,b) end

Para ejecutar esta función se escribirá en la ventana de comandos
dibujorectangulos('exp(-x^2)',0,1,10)

(d) Código matlab
function area=areaAprox(f,a,b,n) dx=(b-a)/n; area=0; for i=1:n c=a+(i-1)*dx; h=subs(f,c);...