Sumas de rieman

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SUMAS DE RIEMANN
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x = x 2, x =0, x = 2 y el eje x mediante el
cálculo del límite de las sumas de Riemann:
SOLUCION:

 2− 0  2
 x==
Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:
n
n
2
i
x i = a i  x = 0  i = 2
La enésima suma de Riemann es
n
n
n
n
n
n
n
i2
i22
8
8
8 n  n 1   2 n 1 f  x i   x =∑i =1 f  2   =∑i =1  2   =∑i =1 3 i 2= 3 ∑i =1 i 2= 3 [
]
∑i=1
nn
nn
6
n
n
n
el área de la región es el límite de las sumas de Riemann:
n
4  n 1   2 n 1  8
limn  ∞ ∑i =1 f  x i   x = lim n  ∞ [
]=
3
3 n2
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x = x −1 2 2, x =−1, x = 2 y el eje x
mediante la búsqueda del límite de lassumas de Riemann.
SOLUCION:
Se divide [-1,2]:
 x=

;

2 −−1  3
=
n
n

x i = a i  x =−1 

3i
n

La enésima suma de Riemann es
n

∑i=1

2

n
n
i3
i
3
f  x i   x =∑i=1 f −1 3  =∑i =1 [ −1 3 −1   2 ]
nn
n
n

=
=
n

∑i=1 f  x i   x

n

3i

2

3

n

9 i2

∑i=1 [ n −2   2 ] n =∑i=1  n2 −
n

∑i=1  27

12 i
3
 42
n
ni 2 36 18 27 n 2 36 n
18 n
− 2 i  = 3 ∑i =1 i − 2 ∑i =1 i  ∑i =1 1
3
n
n
nn
n
n

 n 1  2
 n 1 
= 27 n  n 1   2 n 1  36 n  n 1  18
[
]− 2 [
]  n = 9  n 1 
n −1818
3
6
2
n
2
n
n
n

el área de la suma de Riemann:
n

lim n  ∞ ∑i =1 f  x i   x = lim n  ∞ [ 9  n 1 

 2 n 1  2
 n 1 
n −18
18 ] = 9 -18 + 18 =9
2
n

Hallar elárea de la región bordeada por las gráficas de f  x = 2  x  2 3 , x =−2, x = 0 y el eje x
mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.
SOLUCION
2
2i
Se divide [-2,0]:  x = ; x i=−2 
la énesima suma de Riemann es:
n
n
2
2
2
3
n
n
n
 n 1 
2i
2
32 i 3 32 n 3 32 n  n 1 
∑i=1 f  xi   x =∑i=1 2 −2 n  2   n =∑i=1 n4 = n4 ∑i=1 i = n4 [ 4 ]=8 n2
se...
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