suma de rieman


1.3 Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente entrazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Introducción
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por mediode rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemannes la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Sabiendo que:
Podemos obtener las siguientes igualdades:



(donde C es constante)
Ejemplos
Ejemplo # 1
Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:,límites





La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

Ejemplo # 2
Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente función:
,límites





Ejemplo # 3
Evaluando la suma de Riemann en seissubintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:
,límites




Ejemplo # 4
Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente función:
,límites





Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finalesderechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.



1.3 Suma de Riemann (mas conceptos e información)
Definición yrepresentación
Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).
Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes: . Una suma de Riemann se interpreta como elárea total de rectángulos adyacientes de anchura común y de alturas situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).


Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

Teorema fundamental
El teoremamás elemental es el siguiente:
Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

Prueba
El intervalo I = [0,1] es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :


es decir que el número α depende de x (y de ε),...