Robotica 1

Gustavo Kato Ishizawa

Tema 1: Matrices, descripciones y transformaciones
espaciales

Introducción
El primer capítulo del curso presenta una rápida descripción de las matrices y
su aplicación para describir y realizar transformaciones espaciales.

1.1 Definición de matriz
Las matrices son arreglos matemáticos que permiten representar o trabajar
transformaciones lineales.
Matriz m x n:m filas

Ejemplo: Matriz 3 x 3

n columnas
 a11 a12 . a1n 
a

 21 . . . 
.
. . .


am1 . . amn 

 a11 a12
a
 21 a22
a31 a32


a13 
a23 

a33 


1.2 Operaciones básicas con matrices
Las matrices pueden utilizarse para realizar operaciones simples como la suma de
matrices o un poco más complicadas como la multiplicación.

1.2.1

Suma dematrices
La suma de dos o más matrices de dimensiones m × n da como resultado
otra matriz de las mismas dimensiones.
Sean las matrices A y B de dimensiones m × n :

 a11 a12
a
a22
A =  21
.
.

am1 .

4

. a1n 
. .

. .

. amn 

 b11
b
B =  21
.

bm1

b12
b22
.
.

. b1n 
. .

. .

. bmn 

Escuela de Posgrado

Robótica AvanzadaEntonces:
 a11 + b11
a +b
A + B =  21 21

.

am1 + bm1

1.2.2

a12 + b12
a22 + b22
.
.

a1n + b1n 

.
.


.
.

. amn + bmn 
.

Multiplicación escalar
La multiplicación escalar se realiza por la multiplicación de una matriz con un
término constante.
Sean la matriz A y el término c :

 a11 a12
a
a22
A =  21
.
.

am1 .

 c ⋅ a11
c ⋅ a
c ⋅ A=  12
.

c ⋅ a1m

Entonces:

1.2.3

. a1n 
. .

. .

. amn 

c ⋅ a21 . c ⋅ an1 
.
c ⋅ a22 .

.
.
.

.
. c ⋅ amn 

Multiplicación de matrices
La multiplicación de una matriz a × b por una matriz b × c da como resultado
una matriz de dimensiones a × c .
Sean las matrices A de 3 × 3 y B de 3 × 2 , la matriz resultante C será de
3× 2 :
A× B = C

 a11a
 21
 a31


a12
a22
a32

a13  b11 b12   c11
a23  b21 b22  = c21


a33  b31 b32  c31



c12 
c22 

c32 


Donde:
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31

c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32

c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32

c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31

c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31

c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32

Pontificia UniversidadCatólica del Perú

5

Gustavo Kato Ishizawa

1.3 Matrices especiales
Existen matrices que cumplen con algunas características especiales.

1.3.1

Matriz Identidad ( In )
La matriz identidad o unitaria es una matriz especial cuya diagonal principal
está compuesta por “1” y el resto de sus elementos es “0”.
Ejemplo:
1
0
I4 = 
0

0

1.3.2

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0

1

Matriz Inversa ( A −1 )
Sea una matriz A , se define a la matriz B como la inversa de la matriz A si
cumple la siguiente relación:
AB = BA = I n

Una matriz ( A ) tiene matriz inversa ( A −1 ) si y solo si det( A) ≠ 0
Ejemplo:
2
A=
2

3
2


− 1 1.5
B=

 1 − 1

1 0
AB = BA = 

0 1 

Algunas propiedades de la matriz inversa:
( A−1 ) −1 = A( AB) −1 = B −1 A−1

( AT ) −1 = ( A−1 )T

Nota: Otro método para hallar la matriz inversa sería el siguiente:

a b 
A=

c d 

1.3.3

A −1 =

1
A

 d − b
⋅

− a c 

Matriz Transpuesta ( AT )
Sea una matriz A , se define a su matriz transpuesta como la que permuta los
elementos de las columnas por filas y las filas por columnas de la matriz A .

6

Escuelade Posgrado

Robótica Avanzada

Ejemplo:

a

A = e
i


b

c

f

g

j

k

a
b
AT = 
c

d

d
h

l


e
f
g
h

i
j

k

l

4×3

3× 4

Algunas propiedades de la matriz transpuesta:

( X + Y )T = X T + Y T

1.3.4

( X T )T = X

( XZ )T = Z T X T

Matriz Adjunta ( AT )
Sea una matriz A , se define a la matriz...