Rotaciones Y Traslaciones

Traslaciones y Rotaciones de Funciones
Prof. Javier Vargas López, M.Sc
En este documento se presentará la manera en que conociendo la forma de una gráfica de una función se puede graficar otras funciones del mismo tipo. Recordemos que la gráfica de una función f : IR → IR se define como: Gf = {(x, y) ∈ IR2 /y = f (x)} de modo que se puede decir que la gráfica de una función son todos aquellos puntosen el Plano Cartesiano que cumplen que la y es imagen de la x. Traslaciones verticales En esta sección vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f (x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f (x) + k, siendo k un número real cualquiera. Para ello usaremos como ejemplo la función y = x2 . Esta es una función real devariable real, con dominio todos los números reales. La gráfica de esta función viene dado por:
y 4

3

2

1

2

1

1

2

x

1

2

En la gráfica podemos observar algunas de las propiedades de esta función:

La gráfica de la función es cóncava hacia arriba. La función es decreciente de ] − ∞, 0[ y creciente de ]0, ∞[ El punto mínimo es (0, 0). Ahora veamos la gráfica de la funcióny = x2 + 1
y 5

4

3

2

1

2

1

1

2

x

1

2

Con base en esta gráfica rellena los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La gráfica es cóncava hacia Es decreciente en Es creciente en El punto mínimo es (_____, _____). El punto mínimo se desplazó _____ unidades hacia ___________. Notemos que la función se puede reescribir como y − 1 = x2 . Ahora observemos lagráfica de la función y = x2 − 1 . .

y 4

3

2

1

2

1

1

2

x

1

2

Con base en esta gráfica rellena los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La gráfica es cóncava hacia Es decreciente en Es creciente en El punto mínimo es (_____, _____). El punto mínimo se desplazó _____ unidades hacia ___________. Notemos nuevamente que la función se puede reescribir como y + 1 = x2 .En cada caso analiza qué sucedió con la gráfica de la función en general y qué sucedió con el punto mínimo en particular. Como pudimos observar en el primer caso y = x2 + 1, la función se reescribe como y − 1 = x2 y la gráfica de la función se desplazó una unidad hacia arriba, resultando el mínimo ser (0, 1). En el segundo caso y = x2 − 1, la función se reescribe como y + 1 = x2 y se desplazó unaunidad hacia abajo, resultando el mínimo ser (0, −1). Utilice la siguiente cuadrícula para dibujar la función y = x2 + 2 . .

y 10

5

10

5

5

10

x

5

10

Con base en esta gráfica rellena los espacios en blanco en los siguientes ítemes: La función ser puede reescribir como La gráfica es cóncava hacia Es decreciente en Es creciente en El punto mínimo es (_____, _____). El puntomínimo se desplazó _____ unidades hacia ___________. Lo observado anteriormente no sólo es válido para parábola o funciones cuadráticas sino para cualquier tipo de función. En general se puede afirmar que: Si y = f (x) es una función real de variable real y k una constante positiva entonces, la gráfica de la función y − k = f (x) es la gráfica de la función y = f (x) desplazada k unidadesverticalmente. Si k > 0 el desplazamiento es hacia arriba y si k < 0 el desplazamiento es hacia abajo. . . .

Ejercicio: Con base en las gráficas de la izquierda, utilice la cuadrícula de la derecha para hacer la gráfica de la función indicada.

f (x) = x3
y x3

f (x) = x3 + 4
y 10

5

5

2

1

1

2

x

10

5

5

10

x

5
5

10

f (x) =

√

x

f (x) =
y 10

√x−3

5

10
x 4

5

5

10

x

3

5
2

1

x 2 1 4 6 8

10

Traslaciones horizontales Ahora vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f (x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f (x + k), siendo k un número real cualquiera. Recordemos nuevamente las características de la función y = x2 ....